Book 5 - Normalized transcription
[Notation Key]Folio 57v [Back to Top] view facsimile [1] Iam quintum Ptolemei librum ab iniquis exposiunculis vindicare iubemur, quod quidem paucissimis efficere mallemus quam longo verborum contextu diem terere, modo id sineret hominis stoliditas, qui mox super capitulo secundo: "Si ergo," "inquit, "supponamus lunam in P vel X me- Folio 58r [Back to Top] view facsimile "diis epicycli longitudinibus ubi et quadrature ipsius fiunt, cernetur in punctis N vel M zodiaci." Per quadraturas autem, quemadmodum in capitulo primo exposuit, figuras intelligit quas greci dichotomos appellant, hoc est quando luna media plena est, quod in quadraturis accidit quando videlicet 90 gradibus distat a sole. Tales autem quadrature non \ in / epicycli, sed ecentrici longitudinibus mediis situm sibi determinant. In epicycli enim longitudinibus mediis soli coniungi potest lunam et eidem per diametrum opponi, quod in locis quadraturarum fieri nequit. Hunc hominis errorem vicio librarii accidisse non est verisimile, quippe qui paulo inferius idem repetit. "Qui igitur, inquit, ita hoc in quadraturis quando luna in mediis cursibus est, hoc est inter maximam et minimam epicycli longitudinem etc." Sed cum hec falsa enuntiatio a pueris etiam notari possit, ad aliam properemus "quam super capitulo sexto circa finem expromit. Hec, inquit, distinctio necessaria fuit quoniam motus erraticarum a maxima longitudine capimus, quod recte procedit in ceteris. In luna vero non ita, nam motus epicycli neque ad totius centrum neque ad excentrici fit, sed ad punctum N, ut dictum [2] est. Ita duplex in luna media et vera, simplex in ceteris maxima longitudo invenitur." Hec ille. Est autem punctum N in figura Ptolemei quod per diametrum parvi circuli opponitur centro ecentrici. Quod in luna duplex longitudo maxima inveniatur, una quidem respectu centri mundi, alia vero respectu puncti qui per diametrum parvi circuli opponitur centro ecentrici verum est. In ceteris autem planetis illud non accedere, sed simplicem inveniri longitudinem maximam, error est. Nam et illi duplicem habent \ epicycli sui / longitudinem maximam, unam quidem que respectu centri equantis perpenditur, unde motus planete equalis in epicyclo computatur, aliam autem que respectu centri mundi accipitur; unde scilicet motus inequales planete [3] in epicyclo colligitur, ut deinceps \ cognoscatur / angulus diversitatis qui \ ut iuniores vocant / equationem argumenti continet; quarum certe longitudinum maximarum distinctio atque notitia non magis necessaria est in lune quam ceterorum Folio 58v [Back to Top] view facsimile planetarum motibus supputandis. Nonne illud insuper a minimo quopiam discipulo notari potest? Quod super capitulo nono exponens terminos quosdam assert. "Est autem, inquit, verus locus lune quem designat linea exiens á centro orbis signorum per centrum lune ad orbem signorum, et dicitur motus longitudinis. Medius autem longitudinis est quem ostendit linea exiens a centro orbis signorum per centrum epicycli ad zodiacum similiter tribus inde sexagesimis detractis." Non sunt detrahende tres sexagesime quoniam a fixo quodam termino zodiaci uterque motus tam verus quam medius sumit initium, non a nodo ecliptico qui ternis feré minutis dietim movetur contra signorum consequentiam, trahens secum borealem terminum obliqui lunaris circuli, quoniam terminus ille borealem obliquationis lunaris semicirculum semper dividit per equalia. Unde et inscitia hominis proditur circa finem huius noni capituli super illo textu: "Latitudinis autem á boreali termino. Attende bene, inquit iste, quod tabulam latitudinis non incipit á nodo et forte quoniam nodus movetur, sed á boreali termino remotissimo, videlicet qui fixus stabilisque habetur." Hec ille. Si motus latitudinis apud Ptolemeum á nodo non sumit initium quia nodus ille movetur profecto neque á termino boreali potuit inchoari, quippe qui tantumdem quantum uterque nodus necessario moveri comprehenditur. Itaque motum latitudinis á termino boreali apud Ptolemeum supresisse initium, auctoris arbitrio factum est, non ratione quapiam urgente; quamvis et ille borealis terminus videatur insignior locus obliqui lunaris circuli et priscorum non nulli annum atque cursum solarem á capite cancrino propter loci excellentiam inceperint. Rursus in sequenti capitulo hominis ignavia notatur circa hunc textum: "Quoniam ergo duobus modis. Quando, inquit, centrum epicycli movetur a maxima ecentrici longitudinem duobus modis differentia inequalitatis maior fit, vel propter ecentricum quoniam accedit terris epicyclus et facit ad E centrum zodiaci maiorem angulum, ut in secundo capitulo huius dicitur, vel propter epicycli flexionem. Maior autem differentia propter primam causam est ¯2 39′ que accidit quoniam inequalitas que fit ex motu lune maior invenitur quam 5 1′ per 2 39′ quando epicyclus est in minima ecentrici" Folio 59r [Back to Top] view facsimile et luna in contactu; propter secundam autem, quando in maxima vel minima epicycli longitudine luna est, tunc enim propter flexionem epicycli maxima fit differentia et tunc nulla feré penes primam causam est. Prima enim maxima est quando epicyclus per quartam circuli partem proxime distat á maxima ecentrici longitudine; ipsa vero luna in tangentibus epicyclum lineis; hoc est in altera earum; tunc enim ambe maxime sunt et epicycli et ecentrici ac ideo simul colliguntur gradus 7′ 40″. Hec ille. Quod differentia que penes primam causam accidet, maxima fiat quando epicyclus per quartam feré circuli partem distat ab auge ecentrici, manifestus error est siquidem propter accessum epicycli ad centrum mundi hec concresit differentia. Dum autem epicyclus in situ memorato constituitur, non habet maximam \ sed mediocrem / ad centrum terre vicinitatem. Quare neque maxima tunc esse potest differentia que propter eam causam conquiritur. Verum epicyclo \ quidem / longitudinem minimam ecentrici possidente, luna autem in altera tangentium constituta, maxima huiuscemodi differentiam quemadmodum Ptolemeus argutissime expressit, accidere necesse est. \ Quod quidem et homo / iste mordendi magis quam docendi aviditate captus si reminisceretur verba sua que paulo antea protulit; confiteretur [Diagram] Et si ut est pervicatia hominis fateri nollet, vi argumentationis geometrice urgebitur in hunc modum. Describatur eccentricus lune circulus ABC super centro D, cuius diameter AC contineat centrum mundi E. Unde quoque fieri necesse est ut A quidem sit longitudo ecentrici maxima, C autem minima. In quibus longitudinibus statuantur duo circuli parvi equales epicyclum Lune representantes: quos contingant due recte EF et EH á centro mundi educte in duobus punctis \ Hic ostendendum ubinam accidat maxima diversitas propter flexionem epicycli / Folio 59v [Back to Top] view facsimile F et H. Hec puncta contactum iungantur cum centris epicyclorum A et C. Quod itaque sub angulo AEF contineatur maxima diversitas lune que propter epicyclum in A constitutum evenit; itemque sub angulo CEH maxima propter epicyclum in C positum demonstratione non eget. Verum angulum CEH maximum esse omnium parilium qui scilicet penes contactum fiunt, et angulum AEF omnium esse minimum, id impresentiarum demonstrare libet. Ponatur enim centrum epicycli ubicumque collibitum fuerit in semicirculo ecentrici ad longitudines extremas terminato, verbi gratia in puncto B, super quo describatur epicyclus ipse quem contingat EG in puncto G, ducta semidiametro epicycli BG. Iam angulus BEG maximam lune diversitatem que penes epicyclum accipitur comprehendit, qui quidem angulum minor necessario est angulo CEH maior autem angulo AEF. Cum enim in diametro ecentrici AC punctus E preter centrum signatus sit, erit \ per 7 tertii Elementorum / EC brevissima omnium sibi conterminarum ad circumferentiam ecentrici desinentium. Brevior itaque erit ipsa EB, unde et per communem scientiam quadratum EB quod per penultimam primi duobus quadratis linearum EG et GB equipollet, maius erit quadrato EC, id est, duobus quadratis linearum EH et HC; ablatisque utrobique equalibus quadratis linearum BG et CH, relinquetur per conceptionem animi quadratum EG maius quadrato EH; quamobrem et EG longior erit linea EC. Resecta itaque GK ad equalitatem EC claudatur triangulus BGK qui per quartam primi equalis et equiangulus ostenditur triangulo EHC quoniam duo eius latera BG et GK duobus lateribus CH et HE trianguli EHC sunt equalia et uterque angulorum apud G et H rectus est per 17 tertii ; quare angulus CEH equabit angulum BKG; sed angulus ille BKG per 16 primi superat angulum BEG; per principium igitur angulus quoque CEH eodem maior erit. Summatim ergo ex habitudine remotionum centri epicycli á centro mundi dependet magnitudine angulorum penes contactus evenientium quandoquidem diameter epicycli et rectitudo anguli apud contactum ubique servantur. Hinc rursus facile concludes angulum AEF esse minorem angulo BEG. Hec Folio 60r [Back to Top] view facsimile etsi levia admodum sunt, quia tamen ab expositore non modo preterita sunt, verum etiam ignorata declarari oportuit, quo temeritas hominis iniqui recentioribus etiam mathematicarum amatoribus innotesceret. Ceterum in quo situ epicycli maxima diversitas propter flexionem accidat operepretium erit intelligere; nam etsi Ptolemeus asserat eam fieri \ quidem / quando luna medio suo cursu per quartam circuli zodiaci distat á \ ab auge cocutus /; expositor autem noster eam evenire dicat in extremis longitudinibus epicycli, nullam faciens mentionem de situ epicycli in ecentrico; est tamen invenire certum quendam situm epicycli in eccentrico, itemque certum lune in epicyclo situm ubi maxima evenire soleat huiuscemodi diversitas. Quod ut expressius ante oculos ponatur, sit eccentricus delator epicycli lunaris ABC super centro D lineatus; in cuius diametro AC per A longitudinem longiorem [Diagram] et C propiorem incedente sit centrum mundi E. Epicycli centrum in quadratura lunari sit punctus B, per quem a centro mundi E veniat recta EB que ad summitatem epicycli excurrens offendat Q longitudinem longiorem epicycli. R autem sit longitudo eius propior; ponaturque centrum globi lunaris in T puncto, ita ut arcus QT sit motus diversitatis lune per tabulam suam (iamdudum enim contexta fuit) elicitus ad horam considerationis. Erat autem et radix eius motus inventa perinde quasi motus ille equabilis esset respectu longitudinis longioris epicycli. Ducatur etiam recta ET. Cum itaque situs epicycli notus sit ad tempus propositum punctus \ quoque / zodiaci quem commonstrat EB linea illuc protensa, non latebit; arcus autem QT notus angulum QBT atque idcirco reliquum de duobus rectis EBT latere non sinet; proportio denique EB ad BT semidiametrum epicycli non ignorabitur, quoniam linea EB propter situm epicycli notum, innotescit. Trianguli ergo EBT angulus BET notus erit et arcus zodiaci ab eo comprehensus qui diminutus ex motu lune medio re- \ Utire posthac tabula sinus in qua sinum totum habes 100,000 / Folio 60v [Back to Top] view facsimile locum zodiaci quo porrigitur ET linea cognitum. Is autem locus zodiaci á loco lune vero per instrumentum accepto differre comparitur et quidem ad succedentem partem signorum; quare linea veri motus lune vicinior erit ad principium Arietis quam line ET. Ea igitur sit EV, ita ut V sit centrum lune distans ab auge epicycli per arcum QV, qui si notus fuisset profecto et locus lune per computationem recte inventus esset. Sed non erat nisi arcus QT notus qui minor est arcu QV per arcum TV, cui ponatur equalis QP ita ut per communem sententiam facto PT communi, arcus PV fiat equalis arcui QT. Cum autem tabule motuum equalium non nisi equales motus exhibeant, id enim officium est earum. Eos autem equales motus á certo quodam initio \ termino / computari oporteat si reliquum eius terminum \ scilicet ad quem / investigare velimus; est autem in proposito reliquus ille terminus globi lunaris centrum: quem quidem terminum mutari non licet quoniam situm eius semper querimus; quare punctus P fuit initialis terminus eius arcus quem per tabulam diversitatis elicuimus á quo scilicet \ et respectu cuius in hac consideratione / lunam motum diversitatis equabilem emensa est. Sed punctus P ab aliis epicycli punctis internosci nequit nisi externo quodam adminiculo succurrente; omnia enim circumferentie cuiuscumque puncta eadem habitudine ad centrum referuntur: producta itaque PB semidiametro epicycli donec occurrat diametro ecentrici longitudines extremas continenti in puncto N: manifestum est longitudinem epicycli longiorem media flecti ad punctum N, quod si semper ita eveniet dum centrum epicycli decurrit inter longitudines extremas eccentrici, erit punctus N idoneum principium unde cognoscatur longitudo longior epicycli media. Illud autem per plurimas observationes sic se habere compertum est. Quamobrem operepretium est investigare longitudinem linee EN, ut dato puncto E detur et punctus N. Notitia autem linee EN dependet ex cognitione angulorum EBN et BEN uná cum linea BE verum tam linea BE quam angulis BEN latere non potest propter situm epicycli datum. Angulus etiam EBN notus daretur Folio 61r [Back to Top] view facsimile si arcus RS aut ei equalis PQ innotesceret. Quare ad notitiam arcus PQ sive TQ properandum est. Cum autem triangulus EBV duo laterum EB et BV \ proportionem / cognitam habeat propter situm epicycli et angulum BEV datum propter situm duarum linearum EB et EV cognitum; quarum altera quidem EB medium \ ex computatione elicitum / altera autem EV verum lune motum instrumento deprehensum indicat; erit et angulus EBV atque idcirco reliquus de duobus rectis VBQ datus et deinceps arcus QV non ignotus. Erat autem et QT notus per tabulam motus diversitatis; quare et reliquus EV, id est QP et inde angulus PBQ sive EBN cognitus. Constat autem differentiam que inter computationem tabularem et observationem instrumentalem deprehenditur complecti angulo TVO quem subtendit arcus epicycli EV, qui etsi equalis sit utrique arcuum PQ et RZ, non tamen tantum in centro mundi \ subtendit angulum / quantum uterque dictorum arcuum et ut exemplo clarius pateat, ductis lineis PE et SE quamvis arcus TV equet utrumque arcuum PQ et RS non tamen angulus TEV diversitatis tertie que propter flexionem accidit equalis est alteri angulorum PEQ et RES, sed minor utroque eorum . Itaque tertia diversitas motus lunaris in proposita observatione dependet \ non solum / ex magnitudine arcus TV \ eiusdem [4] / qui scilicet et inter situm lune verum et opinatum concluditur; sed et ex positione eiusdem, nam si \ epicycli situ non mutato / per computationem, luna in auge epicycli deprehenderetur esset utique propter flexionem in puncto P \ Et ideo / diversitas [5] tertia sub angulo PEQ contineretur qui certe maior est angulo TEV, quamvis duo arcus PQ et TV equales existant. Et si in longitudine propiori per numeros tabulares luna inveniretur, id est, in puncto R, necesse esset eam in puncto S flexionis urgente constitui, quare diversitas flexionis suo angulo RES continetur, qui maior est tam angulo PEQ quam TEV tametsi arcus epicycli RS, PQ, et TV memoratis angulis conclusi sint equales. Ceterum quoniam arcus PQ \ qui inter duas auges epicycli veram et mediam continetur / perinde quasi radix est huius diversitatis tertie. Ipse autem alius ad alium Folio 61v [Back to Top] view facsimile epicycli situm in eccentrico invenitur quippe in auge ecentrici ac eius opposito nullus \ omnino / invenitur; cumque ab auge ecentrici recedens epicyclus pederentim augeat hunc arcum. Dum autem opposito augis appropinquat, sensim decrescit, profecto in medio itinere erit reperire statum, id est finem, talis crementi et principium decrementi ubi scilicet talis arcus habetur maximus. Qui ergo determinant ubinam tertia diversitas eveniat \ quam / maxima non solum ad epicyclum spectare debet \ propter flexionem / [6] verumetiam ad eccentricum ut per situm epicycli in ecentrico addiscat maximam intercapedinem que duas epicycli auges \ veram et mediam / seiungere potest. Deinde ad epicyclum se commentat ut sciat in qua positione talis intercapedo quam maximum angulum in centro mundi subtendat. Primum autem horum duorum etsi Ptolemeus dicat esse in quadraturis lune, hoc est luniaribus per quadram circuli penes cursus medios distantibus, non tamen ad unguem est in ipsis quadraturis sed 24 Primum igitur horum sic explorandum erit.[Diagram] Sit eccentricus lune circulus ABC super D centro descriptus, in cuius diametro AC centrum mundi sit E punctus atque idcirco A quidem longior, C autem propior eius longitudo. In ea etiam diametro, sit N punctus flexionis tantum ab E centro mundi remotus quanta est eccentricitas, quemadmodum Ptolemeo demonstratum est. Exponaturque semidiameter eccentrici DP cuius ad DN proportioni sit equalis proportio DE ad DQ. Erit itaque DQ data quoniam tres prime linee date sunt. Unde et QP dabitur qua divisa per medium in puncto R, erit QR data et tota igitur DR. Dividatur etiam EN per medium in puncto H unde ODH quoque non erit ignota. Est autem DR longior linea DH, quoniam quadratum DR per sextam secundi Elementorum equatur ei quod fit ex QD in DP cum quadrato QR. Quadratum etiam DH equale est ei quod sub ND et DE continetur et quadrato EH, quod autem sub Folio 62r [Back to Top] view facsimile \ loci sunt allegandi quamvis usitati propter cause qualitatem quoniam agitur contra adversarium / PD, DQ continetur rectangulum equale est ei quod sub ND, DE per 15 sexti . Quadratum autem QR maius est quadrato EH si quidem linea QR maior est quam linea EH; id autem evenit quia ED superat lineam DQ. Quare per principia geometrica DR superabit lineam DH. Iam ex puncto H producatur sinistrorsum orthogonalis ad AC, ex qua sumatur HO potentia quidem equalis excessui quadratorum DR et DH; ductaque semidiametro ecentrici DB per punctum O. Dico B esse punctum quesitum ubi scilicet centro epicycli constituto \ provenit / maxima intercapedo vere et medie augium epicycli. Quod sic ostenditur: ponatur DL equalis linee DQ, divisaque LB per medium in O puncto, ducantur due recte OE et ON, quarum utraque utrique linearum LO et OB necessario erit equalis. Nam per penultimam primi quadratum DO duobus quadratis linearum DH et HO equipollet. Verum quadratum DO per sextam secundi equale est rectangulo linearum LD, DB una cum quadrato LO. Et per eandem etiam quadratum D equatur rectangulo linearum ED,DN et quadrato EH. Duo autem quadrata linearum EH et HO per penultimam primi equant quadratum EO quamobrem rectangulum linearum LD, DB una cum quadrato LO equatur rectangulo linearum ED, DN cum quadrato EO demptis, igitur utrobique equalibus rectangulis his quidem linearum LD,DB. Illic autem linearum ED, DN, \ quoniam DQ et DL equales sunt / relinquetur quadratum LO equale quadrato linee EO et ideo linea LO linee EO equalis. Est autem EO per quartam primi equalis linee NO circulus igitur O centro et distantia OL lineatus per quatuor puncta LENB proculdubio incedet. Is etiam intrinsecus continget circulum ecentricum in puncto B quoniam si ex B puncto linea othogonalis ad DB utrimque educatur, ea per 15 tertii utrumque circulum continget in puncto B. Unde et ipsi circuli sese contingent. A communi igitur puncto B ad duo puncta E et N ducantur due recte BE et BN quas dico continere angulum maximum omnium basi quidem EN consistentium, cuspides autem in semicirculari arcu ABC habentium. Sit enim alius talis angulus cuspidem in X habens ductis duabus rectis Folio 62v [Back to Top] view facsimile [Diagram] XE et XN quarum altera necessario secabit circulum BNE \ puncto X extra circulum BNE existente /; secet itaque XE circumferentiam circuli parvi in puncto M quod iungatur puncto N per lineam MN; erit itaque angulus EBN per 20 tertii equalis angulo EMN, qui per 16 primi maior est angulo EXN; quare et angulus EBN maior est eodem. Non aliter ratiocinaberis ubicumque cuspidem anguli constitueris extra punctum B. est autem in medietate quoque dextra eccentrici invenire punctum similem ipsi B, in quo scilicet maximus fit omnium angulorum basi EN insidentium et cuspides in dextro semicirculari arcu habentium. Is autem punctus similem habet situm respectu augis eccentrici sicut punctus B. Constat autem intercapedinem duarum augium epicycli sequi magnitudinem anguli sepe dicti ubicumque centrum epicycli constituatur. Nam si verbi gratia centrum epicycli in B posueris et duas lineas EB et NB ad fastigium epicycli extraxeris, erit per ultimam sexti quibusdam aliis repetitis proportio anguli EBN, id est contrapositi sui ad quatuor rectos que est intercapedinis augium ad totam epicycli circumferentiam. Ubi ergo maior est memoratus angulus ibi et maior fit augium intercapedo; et ubi minor, minor. Iam si libet situm memoratum \ per numeros / investigare ubi scilicet angulus intercapedinis augium est plurimus; assumamus numeros quos Ptolemeus \ semi / diametro eccentrici et eccentricitati tribuit. eccentricitas apud enim est 10 19′ \ et tanta etiam est EN / ut semidiameter ecentrici est 49 41′ quibus numeris in minutias resolutis, erit ecentricitas 619′, semidiameter vero ecentrici 2981′. Et ED in DN, id est duplam DE, fit 758322″, qui divisus per 2981, id est semidiametrum ecentrici elicit 254′ lineam DL, que dempta ex semidiametro ecentrici relinquit 2727′, cuius medietas 1363′ fere adiecta linee DL conflabit lineam DO 1617′ fere. Est autem linea DH 928′ divisa EN per medium in H. Demissa igitur BY perpendiculari ex B ad diametrum ecentrici erit DH ad DY sicut DO ad DB. quare Folio 63r [Back to Top] view facsimile si posuero BD 60000 partium, erit DM hoc respectu 34434, id est sinus rectus arcus BC, unde et ipse BC arcus elicitur 54 59′ distantia videlicet puncti B á longitudine ecentrici propiore secundum partes circumferentie ecentrici; et residuus de semicirculo \ id est AB / erit 125 1′. Nos autem querimus arcum AB quoniam motus lune equalis non perpenditur in circumferentia ecentrici, sed in zodiaco et ideo angulum AEB querimus ut si quando distantia epicycli lunaris secundum cursum medium ab auge ecentrici fuerit equalis quantitati talis anguli, sciamus tunc maxima augium epicycli esse intercapedinem. Erat autem DE 619′ ut DB 2981′; dum autem DB est 60000, erit DE 12459′. Unde reliqua EM erit 21975. Linea vero BY eodem respectu cum sit sinus arcus BC erit 49139′ et ideo EB quoque erit 53829. Dum autem EB ponitur 60000, erit BY 54772, id est sinus arcus subtendentis angulum BEY de circumferentia circuli super E centro lineati; quare angulus BEY erit 65 54′ et reliquus de duobus rectis AEB erit 114 6′. Quando itaque centrum epicycli medio suo cursu distat á longitudine longiori ecentrici utrique per 114 6′ maxima, accidit augium epicycli intercapedo quam iuniores vocant equationem centri; quod quidem non in longitudinibus ecentrici mediis ad unguem fieri solet se infra eas versus longitudinem ecentrici propiorem. Nam si rite numeros exerceas, elicietur linea EB in hoc situ id est remotio epicycli á centro mundi 53 49′ ut semidiameter ecentrici, id est longitudo media est 60 partes. Hec paulo diffusius tractata sunt ut res nuper inventa in lucem ederetur et simul penuria expositoris nostri deprehenderetur qui in minimis rebus diem terit [7] ubi vero standum esset, salit repente ne inscitie arguatur; de tertia \ itaque / diversitate lunari \ quatenus / ex ecentrico pendet \ satis dixisse videmur /, nunc quatenus ad epicyclum refertur agendum, que res tali comparabitur theoremate. Si á puncto extra circulum quempiam sumpto, recta quedam per centrum eius ducatur, alie item due circulum contingentes applicentur, sumanturque ex circumferentia duo arcus equales quidem inequalem autem á [8] \ vel a fastigio vel ab imo / circuli recedentes: Folio 63v [Back to Top] view facsimile [Diagram] qui fastigio vel imo circuli vicinior fuerit, maiorem in puncto externo subtendit angulum quam qui remotior ab eo fuerit. Voco autem fastigium circuli punctum in quod incidit recta que á puncto extremo per centrum circuli ducitur; reliquum autem scilicet punctum sectionis voco imum. Ex puncto A ducatur recta AB per E centrum circuli BCD, secans eum in duobus punctis B et Q, ita ut B quidem fastigium; Q autem imum circuli fiat; applicenturque due tangentes circuli AC et AD. Sumantur denique duo arcus equales FG quidem vicinior fastigio circuli; HK autem remotio cita contactum tamen. Ita enim voluimus theorema restringere aut ambo arcus in parte superiori circuli que est supra puncta contactuum ambo in parte inferiori accipiatur. Ductisque lineis AF, AG, AH, et AK. Dico angulum FAG maiorem esse angulo HAK. Quod sic ostendetur. Signentur puncta L et M in quibus due recte AG et AK secant inferiorem partem circumferentie; per que dico puncta deorsum á punctis F et H veniant due recte eó excursure ubi suscipere possint duas perpendiculares ex puncto A demittendas. Sintque tales AN quidem ad FN et AP perpendicularis ad HP Cum itaque duo anguli ALN et AMP id est duo eis contrapositi FLG et HMK sunt equales per 26 tertii. Uterque autem angulorum apud N et P rectus sit 32a primi duos triangulos LAN et MAP equiangulos pronunciabit quare per quartam sexti LA ad AN sicut MA ad AP; cumque per 8 tertii MA sit longior quam LA erit AP quoque permutatis terminis proportionum longior quam AN; est autem AH brevior quam AF per tandem octavam tertii; quamborem proportio AP [Diagram] ad AH maior est proportione AN ad AF; hec ex octava et duodecima quinti comprobantur. Et ideo per sumptum triangulorum rectangulorum angulus HAP, id est HAM maior erit angulo FAN, id est FAL. Sed per 32 primi duo anguli FAL et AFL simul sumpti sunt equales duobus HAM AHM; quoniam duo eorum externi quibus ipsi singulatim equipollent FLG et HMK sunt equales per principium igitur ab equalibus inequalia detraxeris relinquetur angulus FAL id FAG maior angulo \ Hoc theorema epicyclicum aliter demonstrare poteris: Erit enim per librum triangulorum planorum Al ad LF sicut sinus anguli FAD ad sinum anguli FAL. Similiter in triangulo AMH. Sed maior est proportio AM ad MH quam AL ad LF; quare et sinus anguli AHM ad sinum anguli HAM maior quam sinus anguli LFA ad sinum anguli FAL. Sunt autem illi duo equalis istis duobus. simul iunctis. Fiat itaque translatio ad arcus per problema tale. Si idem arcus circuli in per duo puncta in binas scindatur portiones fueritque que maior est proportio sinus unius ad sinum sui complementi quam sinus alterius ad sinum sui complementi, maior proportio consequentem arcum minorem prebebit. / Folio 64r [Back to Top] view facsimile HAM sive HAK, quod erat ostendendum. Etsi alter propositorum arcuum equalium fastigium circuli incluserit etiam ambo sed inequaliter, ille eorum fastigio censebitur vicinior cuius medius punctus vel in ipso est fastigio vel eidem propinquior est; eo itaque arcu resoluto in duos tantos scindatur; ingeminatoque syllogismo iam nunc exposito, concludetur veritas theorematis. Sed accipiantur iam duo equales NL et OM in parte inferiori; ductisque perpendicularibus LP et MQ, fient duo trianguli FLP et HMQ equianguli per rectam tertii et 32 primi. Et ideo per quartam sexti, LP longior sit quam HM; quare et per 8 ac 12am quinti cum suis adminiculis maior erit proportio LP ad LA quam MQ ad MA; est enim MA longior quam LA per 8 tertii. Et ideo per sumptum superius allegatum angulus LAP, id est LAN superabit angulum MAQ sive MAO; quod expectabatur demonstrandum. Hoc igitur theoremate expedite redeamus ad figurationem superiorem in quam etsi duo arcus PQ et TV equales sint quia tamen PQ arcus est vicinior fastigio eipicycli angulus PEQ maior habetur angulo TEV quorum uterque complectuntur diversitatem ex flexione epicycli proveniente; ille quidem globo lunari per notam obtinente iste autem eodem Lune glob in V constituto. Quod autem angulus res maior sit angulo PEQ quamvis ab arcubus equalibus subtendantur sic declarabitur. Ducatur PY et QR alternos angulos continebit equales unde et duo arcus YR et RS equales habebuntur. Copuleturque Y cum E per lineam YE que per 8 tertii equalis erit linee ES. Et per 8 primi angulus RES equabit angulum REY qui cum sit maior angulo PEQ, erit angulus quoque RES maior eodem. In summa igitur maxima diversitas motus lunaris propter flexionem epicycli accidens sit quando centrum epicycli quidem est in contactu duorum circulorum ecentrici, scilicet et alterius eum intrinsecus contingentis ac per duo puncta E et N incedentis. Folio 64v [Back to Top] view facsimile centrum autem globi lunaris per computationem in propiori longitudine epicycli deprehenditur qui quidem situs aptissimus est ad investigandum punctum flexionis in diametro eccentrici situm; quamvis ne is quidem situs omnino contemnendus est sit qui Lunam auge epicycli statuit. Quanto autem magis ab illis locis recedetur, tanto fallatior erit inventio flexionis; fieri enim oportet ut si quid \ forte / per inspectionem instrumentalem pretereatur, id sensibilem de circumferentia epicycli sibi vendicet portiunculam. Unde et in comprehensione arcus PQ et deinceps anguli PBQ, id est EBN error notabilis admittetur. Ex cuius quidem anguli notitia una cum angulo BEN lineaque BE, longitudo linee EN atque postremo situs puncti N inquiritur. Iam tandem Ptolemei mentem intelligere poteris has scilicet duas diversitates secundam et tertiam habere crementa et decrementa contraria: Dum enim epicyclus quidem ecentrici propriorem longitudinem occupat: luna autem alterum contactuum secunda diversitas est maxima ut supra ostendimus. et tunc tertia que ex flexu manat quoniam cause eius non sunt, nulla est. Dum autem epicyclus quidem in contactu ecentrici et circuli interioris superius dicti statuitur; Luna autem in altera longitudinum extremarum fuerit, tertia diversitas propter fluxum eveniens maxima est, secunda \ vero / nulla quoniam eius cause tolluntur. Huic negotio diutius forsitan quam speraverens immorati sumus non quo Ptolemeum emendaremus asserentem huius diversitatis tertie locum esse in distantie 90 graduum utrimque á longitudine longiori ecentrici; nam ad inveniendum punctum flexionis situs ille ad unguem non est cognitu necessarius; verum ut peritiam expositoris nostri paulisper detegeremus qui non modo Ptolemeum non declarat, verum etiam pro solita sua tergiversatione ad inanes et confusas refugit sententiolas. "Sola, inquit, differentia que penes solarem inequalitatem, id est, que capitur per distantiam Lune ad Solem (non enim Sol causa eius est, sed ipsa distantia Lune) facit ut ipsa Luna in aliis eccentrici partibus fiat." Hec ille. Quid queso sermonis hoc est? Nonne per inequalitatem solarem aut accipienda est differentia que inter motus solares medium et verum invenitur, aut ipsemet verus Solis motus? Atqui neutrum Folio 65r [Back to Top] view facsimile horum presenti negocio subservit; verum ex intercapedine mediorum dumtaxat locorum Solis et Lune res agitur. Tu autem de differentia loqueris que penes solarem inequalitatem animadvertitur, quasi inequalitas solaris huius secunde inequalitatis sive diversitatis lunaris causa sit. Sed \ inepte / exponendo tesipsum fugis ad differentiam que capitur per distantiam Lune ad Solem, propter quam quidem ex mediis luminarium locis collectam surgat differentia secunda que ad eccentricum refertur. Subiungis enim eam differentiam facere ut ipsa Luna in aliis ecentrici partibus fiat causam ex effectu pendere autumans. Non enim hec diversitas secunda instar cause sistit epicyclum in aliis atque aliis eccentrici partibus; verum ex epicycli alio et alio situ tamquam ex causa occasionali Ptolemeo autore inquiritur hec secunda diversitas. Sic dum Ptolemeum exponens conaris qui non omnino absurde tali [9] secunde diversitati á Sole cognomentum \ deducit / ad confusum \ bone vir / inversum et falsum enuntiationis genus detorqueris; et ignorantee vicio quod plerisque omnibus obiectare audes digne \ venis / arguendus \ ut inferius calumniaris / non illi qui erraticas fixas in epicyclis asseverant et epicyclos rotari in ecentricos. Sed proferantur \ in medium / verba expositoris que super capitulo Ptolemei tertiodecimo apud finem effudit in iuniores quosdam astronomos qui profundissimis exerciti meditationibus ut commoditatem ac decus \ corporum / celestium servent ne per motus suos tam multiplices quam varios scindere sese aut penetrare instar fluxe et instabilis materie videantur omnia orbium simulacris exprimenda censuerunt ne quos vacuus in regione tam excelsa inveniretur locus, quod nisi fieret, tota excogitatio ecentricorum et epicyclorum inanis somni speciem habere videretur. Quis enim arbitraretur \ Hec continua [10] / intelligentias tam tenuibus circulis appropriata quadam lege in sidere ut eos moverent, tota et amplissima spatii celestis reliqua parte deserta? Expositor iste postquam enumeravit varias distantias Lune ad terram propter ecentricum et epicyclum accidentes: "Quare," [11] inquit Folio 65v [Back to Top] view facsimile "quamvis ignorantia eorum qui dicunt erraticas fixas esse in epicyclis, et epicyclos rotari in eccentricis neque mutare locum sed totum motum fieri per eccentricos, et inequalitate multiplici presertim in Luna, et varietate motuum, et maxime longitudinis motu redarguitur, tamen hinc etiam exibilari potest. Nam varietas aspectuum diversitatem distantiarum ostendit, et distantiarum diversitas non in eodem loco rotari epicyclos sed ferri per longitudinem demonstrat." Hec ille pro bile sua in recentiores videtur iactare astronomos. Veteres enim ab [12] Hipparcho non solum ad Ptolemeum, verumetiam ad *Arabos mathematicos quicumque astronomiam eccentricam amplexi sunt de circulis simpliciter et subrudi [13] ut ita dicam modo mentionem fecere: ad nihil aliud spectantes nisi ut diversitates motuum celestium quodam medio convenienti servari possent; imo potius ut ille ipse diversitates per numeros quosdam \ pronuntiari / possent, cuius rei indicium est quod principes huius artis et in primis Ptolemeus á demonstrationibus linearibus e vestigio ad calculum transire solitus est, nil prorsus vel de polis vel de axibus motuum disserendo. Posteriores vero solertius et intimius ad naturam corporum celestium penetrantes, non solum circulos mathematicos tertia dimensione carentes stellarum delatores \ esse / censuerunt, sed corpora quedam globica quorum varia et mira quadam delatione astra ferrentur. Itaque cum auctoritate Ptolemei sol ecentricum solum sortitus esset, eum intellexerunt non tenuem circulum sed orbem equali undique crassitudine qui totam elementarem regionem una cum parte celestis spatii quod sub eo est ambiret; in quo orbe duobus sphericis superficiebus concentricis clauso solarem globum figi arbitrabuntur ut sol ipse non quasi errabundus per ethereum vagaretur \ regionem /, sed ductu memorati orbis se continentis equali quadam celeritate rotaretur penes centrum suum. Cumque orbis ille á medio mundi situ recedat, necesse erit partes eius inequaliter á centro mundi removeri atque idcirco orbem illum in motu suo occurrere cuidam Folio 66r [Back to Top] view facsimile celesti corpori circa se posito et eidem \ quasi / vim inferre per scissionem aut condensationem: vacuum etiam post se relinquere; ideo spatium quod utrimque á concentricitate defecit, suppleri putaverunt duobus aliis orbibus circa \ solis / delatorem positis, crassitudine quidem impari sic \ tamen / videlicet ut congeries trium orbium memoratorum cum mundo centrum haberent commune. Hac quidem cursim de Sole narrata sunt. In Iove autem, ut exemplo utar, cum non sit simplex diversitas, oportuit adiungi epicyclum; nam de eccentrico suo non aliter quam apud solem opinati sunt nisi quod loco solis posuerunt [14] epicyclum, non circularem qualis in demonstrationibus supponitur, sed orbitum, putantes in ecentrico esse quandam cavernam [15] sphericam in qua globus epicyclicus quantus Iovi debetur constitui posset. Sed et ipso epicyclo immersum esse crediderunt globum iovialem ;ut sic stella non per se et temere, sed volutione globi epicyclici in caverna spherica rotaretur. Et simul epicyclus una cum stella ad motum ecentrici se \ in caverna positum / rapientis circumduceretur. In hunc itaque modum, nisi breviter nimis dixerim, stellas erraticas in epicyclis fixas esse autumant iuniores et peracuti vires, non quo priventur sua circulatione, progressione, regressione, accessione item ad terram et secessione ab eadem \ diversitateque aspectus et diametrorum apparentium mutatione / (omnia enim hec et alia quecumque apparentia commodius per orbicam consertionem servantur quam per illam fragilem et indignam circulorum positionem) [16] sed quo continuitas celestis corporis absque collisione protrusione, insectatione, densatione, rarificatione, vacuitate et ceteris id genus deornamentis custodiatur. Ita ut qualis est sedes supreme intelligentie apud peripateticos, talem et inferiores quoad eius fieri potest sortiantur. Verum cum hec in scholis nostris quotidie agitentur , breviorem libuit facere sermonem: non enim docturi venimus Folio 66v [Back to Top] view facsimile huius artis inchoamenta quamvis ne ad illa quidem aspirare expositor potuerit, sed ut innocentiam ingenue philosophantium protegamus ac linguam huius nugatoris maleditam coerceamus; qui si rite preludia astronomica de motibus et orbibus planetarum spectasset , probaret potius tam reconditas et nobiles meditationes quam obiurgaretur, homo livore et inconstantia scatens exibilandos esse censet eos qui monitu Ptolemei inventis priscorum pro sua virili aliquid adiiciunt ut et grati videantur ergo maiores et benefici erga posteros; quorum prorsus contraria amplectitur iste loquaculus aliene doctrine innidens et posteris quo minus veritati incumbant viam intercludens quem non modo exibilandum aut explodendum censeam verumetiam pro innumeris suis ac iniustissimis convitiis excreandum. Nolim autem quispiam mihi succenseat si pro decore astronomici studii, pro innocentia lesorum hominum, pro iustitia, et pro veritate paulo acerbius in hunc nugatorem ferar. Nihil enim satis dignum tot virgiis tamque crebris referri potest presertim cum ipsemet eas res \ minime didicerit / quarum ignorationem aliis iniuste obiectat. Quod et inferius apparebit ubi expositurus hunc textum capituli quartidecimi: "perspicuum autem est quia quando gradus 9 3′ ab hac, inquit, observatione id intulit ut paulo post quando 7 48′ gradibus distat a nodo, mediam tunc partem lune incidere: quam distantiam capit in obliquo suo et eccentrico qui centrum epicycli defert. Hec distantia et hic motus non differt á motu longitudinis et motu nodorum; componitur enim ex istis. Est etiam alius circulus obliquus in quo capiuntur arcus latitudinis lune sicut obliquationis solaris in meridiano. Hic circulus per polos orbis lune obliqui ac deferentis et centrum ipsius lune describitur." Hec ille brevia quidem sed errore plurimo referta verba depromit ubi quanta sit hominis peritia circa polos \ ac motus / orbium lunarium ne discipuli quidem et \ novi / Folio 67r [Back to Top] view facsimile celestium motuum contemplatores ignorare possunt. Eam distantiam qua Ptolemeus utitur dicit capi in obliquo circulo et ecentrico qui epicyclum defert, quod plane falsum est. Nullus enim motus Lune in ecentrico animadvertitur. nec medius neque verus neque longitudinis neque latitudinis motus; nam sive centrum epicycli ad motum eccentrici deferatur \ sive / ecentrici circumferentiam vestigio suo describat; numuam astronomo cure est quantum in quovis tempore spatium ecentrici itineris peragrarit; unde neque computatio ulla que contemplationum ac demonstrationum astronomicarum executrix est ad eum refertur. Verum hec distantia a nodo cuius Ptolemeus meminit in obliquo sed concentrico lunari circulo perpenditur aut illinc ad zodiacum usque transfertur in cuius quemadmodum orbitam solarem linea a centro mundi per centrum Solis exporrecta subsignat; ita et via Lune declinis intelligitur \ circuitu / linee recte ab eodem centro \ mundi / per centrum globi lunaris educte. In qua quidem obliqua via motus Lune tam longitudinis quam latitudinis qui ad nodos refertus, accipi et illinc non numquam ad eclipticam traduci solet nulla differentia sensibili ultro citroque intercedente. Credo equidem si expositor seipsum intelligeret in tam fedos non incideret errores; quippe qui mox subiungit hanc distantiam et hunc motum non differre a motu longitudinis et motu nodorum verum ex illis componi, quibus verbis significatur hunc motum illic accipi ubi et motus longitudinis et motus nodorum accipiuntur quorum certe neuter in eccentrico perpenditur sed in concentrico. Itaque dum fluctuanti calamo nimium indulget, sibipsi repugnare cernitur. Sed quod sequitur inscitiam hominis apertius prodit; circulum videlicet in quo latitudo Lune accipitur describi per polos obliqui circuli ac deferentis et centrum Lune. Nam ridiculam hominis dicacitatem demonstrem doctos mihi dari velim iudices qui geometrie Folio 67v [Back to Top] view facsimile non sint ignari quoniam mentis acies intra profundum lunaris machine flectenda est. Si itaque talis circulus per polos \ ut ille asserit / obliqui deferentis incedet et simul per centrum ipsius deferentis ita ut totum deferentis axem decontineat, sequitur duas maximas et contrarias Lune latitudines namquam esse equales nisi aux eccentrici in altero nodorum constituatur; quod est omnino contrarium \ non solum /experimentis verumetiam unanimi omnium astronomorum sententie. Hanc autem consequentiam sic producemus. Intelligantur due plane superficies deferentis lunaris et ecliptice se secantes communi eorum termino veluti astronmis placet per centrum mundi eunte is deinde communis [Diagram]superficierum terminus orthongonaliter secet planum quoddam per centrum mundi incedens quod id circo 18a undecimi interveniente utramque dictarum superficierum ad rectos secabit angulos cum autem centrum deferentis circa mundi centrum rotetur; necessario aliquando perveniet ad iam memoratum planum; sit itaque in eo ad partem borealem ab ecliptica. In eo autem plano describi intelligatur circulus per centrum deferentis et polos eius qui propter suppositam superficierum sectionem in plano predicto [Diagram]reperietur; circulus ille exponatur ABCD super E centro eccentrici lunaris descriptus; cuius et ecliptice terminus communis sit BG harum sectionum communis punctus sit G, id est centrum mundi; erit itaque secundum expositorem nostrum arcus DC latitudinis maxime borealis, AB autem maxime latitudinis meridianie quos facile constabit esse inequales, ductis prius duabus semidiametris EA et EC. Nam per 16 primi angulus DEC maior est Folio 68r [Back to Top] view facsimile angulo EGC, id est angulo AGB. Sed et ille per eadem maior est angulo AEG, id est AEB; quare per principium angulus DEC maior est angulo AEB, et ideo per ultimam sexti arcus DC superabit arcum AB, quod quia observationibus repugnat pro impossibili reputabitur? Quod autem in aliis sitibus centri deferentis simile accidere oporteat preterquam dum est in termino communi duarum superficierum ecliptice et deferentis lunaris; demonstratione non eget quoniam ex iam dictis si superficierum habitudines se secantium docte scrutaris. tale igitur inconveniens sequitur si circulum talem per polos et \ supercentro deferentis /; lunaris descriptum intellexeris. Si vero per polos quidem non autem super centro deferentis sed centro mundi describi detur, ita ut latitudines contrarie fiant equales, illud per \ quam / ridiculum apud omnes inconveniens emerget ut numquam Luna habeat latitudinem nisi lateram longitudinum extremarum eccentrici . Cum enim circulus iam definitus sit unicus et idem [18] semper quocumque ducitur fert secum centrum deferentis in in eo etiam centrum mundi semper existit; necesse est augem quoque eccentrici numquam extra ipsum reperiri. Unicum autem talem esse circulum constabit si tria puncta prefata id est duos deferentis polos et centrum mundi tribus rectis triangulum planum claudentibus consulaveris; ille enim triangulus per secundam undecimi in uno plano erit in quo circulus memoratus necessario reperietur. Ceterum in eo circulo contineri oportet centrum deferentis siquidem duo deferentis poli \ atque idcirco axis eius totus in quo et centrum suum est / inveniuntur. Sic errata expositoris in rebus \ quasi / vulgaribus adnotavimus. Sed Folio 68v [Back to Top] view facsimile detur hoc unum imprudentie sue quod per obliquum Lune intellexerit non deferentem ecentricum sed concentricum mundo que vulgo equantem vocant, ita ut significasse velit circulum in quo capiuntur latitudines Lune descriptum iri per polos obliqui concentrici lunaris sic etenim preverti poterunt duo errores in quos antehac lapsus erat. Iam videamus comparationem latitudinis lunaris ad obliquationem solarem cuius suffragio rem suam cognitu faciliorem reddere tentat . Obliquatio nempe solaris in meridiano: ut verbo eius utar; id est in circulo per polos mundo scripto accipitur; qui scilicet meridiano bis diei noctuque coaptatur. Illi autem poli sunt eius circuli scilicet equinoctialis unde obliquatio perpenditur. Quare et circulus latitudinis lunaris si comparatio quadrare debet, per polos eius circuli describendus est, a quo latitudo ipsa computare\ solet / id est per polos ecliptice non per polos obliqui lunaris. Quam pulcre igitur sibi constant undique verba huius hominis loquaculi quemve fructum omni factura sint nisi retundantur, iam satis liquet, quippe que intestino quodam strepitu invicem colluctantur adeo ut nullo externo sit opus adminiculo quo inepta expositoris deliramenta conculcentur. Qui autem rationem quesierit cur in eo circulo latitudo quelibet sit accipienda, qui \ descriptus / per polos circuli unde ipsa latitudo computatur rectangularis semper ad eundem est; paucis auscultare velit. [19] Latitudinis \ itaque / vocabulo hic insinuabitur recessus signi cuiusdam dati super posito circulo. Cum autem talis recessus per intercapedines arcuum innumeras possit animadverti ut verbi gratia a capite Tauri quod ab equinoctiali remotum est ad ipsum equinoctialem infiniti arcus circulorum magnorum produci possunt quorum quilibet recessum dati signi qualemcumque ab equinoctiali continet. quilibet etiam parem habet preter unicum qui est brevissimus omnium et ad rectos incidens ipsi equinoctiali \ ad / hunc ergo brevissimum \ solitarium [20] / Folio 69r [Back to Top] view facsimile et solitarium ut determinatum se convertit intellectus ne \ siquando / ad multitudinem respexerit non magis tantum quam tantum eligere dubitet et si ad certam se inclinet magnitudinem non magis dextram quam sinistram assumat. Talis autem brevissimus rectangularis etiam est ad suum transire per polos suppositi circuli hec \ rursus / omnia convertuntur ut si circulus quispiam magnus per polos circuli suppositi incedat sumaturque in eo punctus preter polum, qui inter punctum illud et circulum suppositum continetur arcus polum excludens minus est omnium \ arcuum qui / ab eodem puncto ad suppositum ducuntur circulum et rectangularis ad eundem. Quamobrem circulus latitudinis non solum Lune verumetiam quinque retrogradorum per polos ecliptice obliquatio solaris \ que et latitudinis speciem habet / circulo per polos equinoctiales incedente accipitur \ non aliter / elevatioque stellarum super orizontem in circulis verticalibus qui per polos orizontis incedunt et latitudo regionis in meridiano qui per polos equinoctialis et cetere\ id genus secessiones / in hunc modum \ animadvertuntur / Verum ne predictas enuntiationes suspiceris esse arbitrarias et quasi positivas, breviuscula quadam demonstratione \ eas / roboravimus. Ex signo igitur [Diagram] C dato ad suppositum circulum magnum AB demittatur CD arcus brevissimus omnium que ab eo ad suppositum circulum deduci possunt. Dico utrumque angulorum apud D consistentium esse rectum, id est arcum CD perpendiculariter incidere in arcum AB. Arcus autem \ omnes / quos hic tractamus ex circulis maioribus accipi intelligantur. Si enim non est perpendicularis deducator alius tali CE docente Menelao. cuius circulus Theodosii [21] \ de spheris / ratiocinante per polos circuli AB incedet unde et per eiusdem CE erit brevior omni arcu sibi contermino qui ad circulum AB deducitur; non erat igitur CD brevissimus quod est contra suppositum. Folio 69v [Back to Top] view facsimile Quid autem expositorem imputerit ad hanc consulam sententiam et ineptam comparationem, non sine profecta audietur Cum in presenti negetur Ptolemeus investiget diametros lune \ apparentes / et umbre visuales per medias eclipses lunares quando scilicet plurimum quoad fieri potest de facie lunari obscuratum una cum differentia latitudinum quas luna habet in ambabus eclipsibus; sicat quantus arcus circuli magni respondeat differentie digitorum obscuratorum et deinde proportionaliter addiscat arcum toto diametro lunari \ subtensum quem vocant diametrum apparentem sese obscurantes /. Plurimum autem obscurationis in unaquaque eclipse particulari fieri solet; non quando circuli quorum alterum alter obscurat secundum longitudinem zodiaci coniunguntur sed quando arcus circuli magni ad centra eorum desinens est quam brevissimus tunc enim circulus deficiens quam propinquissimus est circulo obscuranti atque idcirco plurimum quoad fieri tunc potest obscurari contingit; ille autem brevissimus arcus a centro umbrosi circuli ad obliquum lunarem circulum perpendiculariter incidit; cum enim luna celerius quam circulus umbre \ solarem cursum innitans / moveatur; fieri oportet ut luna accedens ad eum aliquando ipsum pervertat et ideo centrum umbre perinde quasi immotum signum est hoc respectu; quod cum sit extra suppositum circulum obliquum lune et libeat ab eo ducere arcum quam brevissimum ad lunarem obliquum; non poterit inveniri alius preterquam is qui perpendiculariter quoque ad eum incidit. Itaque hec latitudo qua Ptolemeus utitur impresentiarum aptius tribuitur circulo umbroso respectu obliqui lunaris quam ipsi lune respecti circuli solaris, id est ecliptice. Quo autem res illa magis illustretur describi intelligantur duo circuli equales inclinati ad invicem \ magnitudinem / [Diagram] anguli quinque graduum quanta scilicet est maxima lunaris latitudo; AEB quidem per O centrum umbre incedat; circulus autem CED obliquam lune orbitam representet, nodus ad aquilonem ducens sit E. Polus superius circuli AEB sit F qui directe sub polo ecliptice reperitur a quo descendat quadrans circuli magni ad O centrum umbre secans circulum CED in puncto H. Si itaque centrum lune in H statuatur iam coniuncti erunt duo circuli Folio 70r [Back to Top] view facsimile secundum longitudinem zodiaci. Utriusque enim locus longitudinalis est punctus O aut aliud in supremo celo ei despondens. Latitudo autem lune borealis arcu HO exprimetur; qui cum non sit brevissimus omnium qui a puncto O ad circulum CED produci possunt siquidem anguli apud H punctum non sunt recti propter duo brevitatem arcus EO quadrante minoris. Non erit in hoc situ circulorum plurima obscuratio; quandoquidem circuli dicti propinquiores invicem reddi possunt. Nam signato polo obliqui lunaris per ipsum et punctum O describi intelligatur circulus magnus secans obliquum lune in K ad angulos rectos; quo certe fieri oportet teste Theodosio ut arcus OK brevior existat arcu OH omnibusque aliis sibi confinibus obliquo lunari incumbentibus. Si itaque umbroso circulo punctum O tenente, centrum lune in K statuatur, brevissimo intervallo separabuntur atque idcirco plurimam situs ille prebebit obscurationem quippe cuius crementum ex propinquitate circulorum se obscurantium provenit. In media itaque eclipsi hoc est plurima obscuratione distantia centrorum per arcum OK accipitur a Ptolemeo tanquam necessaria proposito suo. Eamque vocabulo latitudinis agnominat portionem circuli \ qui / per polos obliqui lunaris describitur; neque usquam utitur tali latitudine preterquam in negotio eclipsium. Expositor autem noster circulum latitudinis descriptione generali notat eum qui per polos obliqui lunaris et centrum lune incedit et latitudinem in eo deprehensam obliquationis solari ineptissime . Tantum \ preterea / interest inter latitudinem usitatam lune in puncto K constitute et latitudinem eius qua Ptolemeus impresentiarum utitur quanta duorum arcuum KO et KL differentia reperitur, demisso enim quadrante FL per K centrum lune; erit latitudo lune vera, id est arcus KL brevior arcu KO; quoniam minor angulo KOL, id est acuto opponitur. Quanta igitur sit \ expositoris / peritia in geometria spherali hinc vel maxime liquet quod eam arbitratur esse habitudinem circuli \ qui scribitur / per polos obliqui lunaris ad eclipticam unde latitudines accipiuntur, que est meridiani ad equinoctialem unde solaris computatur obliquatio; cum tamen ille quidem Folio 70v [Back to Top] view facsimile ad suppositum suum circulum inclinetur. Hic autem ad equinoctialem suppositum erigitur quoniam polos eius complectitur. Verum hec hominis ignorantia tametsi non mediocris sit; collata tamen ad posteras ineptias veniam mereri videtur nam qui circa planarum demonstrationes figurarum vacillat que in elementis geometricis abunde traduntur, nihil mirum si in altioribus abstrusioribusque disciplinis fluctuetur; quorum profecto utruumque cernere est in expositore nostro qui demonstraturus diametrum \ alicuius / luminaris quam Hipparchus per dioptram investigavit insensibili quodam differre a vera eius diametro; longo et pene immenso ut ita dicam verborum utitur contextu ad ostendendum similitudinem duorum triangulorum quos tamen fere \ quasi non omnino / similes insert quamvis penitus similes octava sexti ratiocinante perhibeantur. Sed libeat queso verba eius tumultuoarias in medium admittere ut si quando vel emendari cupiat vel \ peccata /sua audentius tueri \ pergat / locus erroris commonstrari queat. In presenti capitulo quarto circa hanc Ptolemei litteram Nam circuli soli lune etc. "Sit, inquit, sphera cuius diameter per dioptram [Diagram] perspicuitur ACBG, cuius diameter CEI oculus perspiciens D et linee BD et GD contingentes spheram sint radii visus exeuntes a cono D; cuius sphere diameter perspecta sit BHG. Dico quod BHG minor erit quam TEI indifferente quodam. Hec est diameter quam Hipparchus sequebantur per dioptram capta. Verum ut apertius propositum sita coniungatur chorda EG; eruntque trianguli EGH et HGD fere equianguli et similes. Uterque enim similis est triangulo EGD. Orthogonii enim pene sunt omnes hi tres et angulus E idem est in maiore et in minore. Quare angulus D maioris equalis est angulo minoris EGH per 32 primi Elementorum. Similes ergo sunt trianguli EGH et EGD. Sed HGD ipsi eidem EGD similis est. Uterque enim orthogonius est: et D angulus utrique communis. Ergo et angulus HEG equalis est angulo HGD per eandem 32 primi. Similis ergo etiam est triangulus HGD eidem triangulo EGD. Sed que eidem sunt similia inter quoque. Quare EGH et HGD trianguli similes et equianguli sunt. Latera igitur eorum proportionalis sunt per quartam sexti Elementorum. Quare sunt EG ad GD sic" Folio 71r [Back to Top] view facsimile "HG ad eandem GD; equalis ergo est EG ipsi HG. Sed nulla in circulo potest duci linea que sit equalis diametro. Ergo nec BG est equalis TI. Indifferens igitur adeo illud est quo EG linea excedit lineam HG vel in dupla excedit duplam BG ut nec vi demonstrationis quidem colligatur." Tanta verborum colluvione rem exiguam hoc ille aggreditur ut excessum duarum linearum EI et HG sive duplarum TI et BG sensu imperceptibilem ostendat nec dum illud efficit. Nam ut apertius sua quidem sententia reddat propositum, ducta chorda EG insert duos triangulos EGH et HGD fere equiangulos esse, quos per octavam sexti Elementorum constat non solum inter se, sed etiam toti triangulo EGD omnino similes esse. In mathematicis autem sermonibus quotiens alterum alteri fere vel equales vel simile enunciatur semper aliquid a vero quantulumcumque abest. Duos ergo memoratos triangulos EGH et HGD non prorsus esse similes insinuat. Quos ne natura quidem similiores facere potest. Ut autem hanc imperfectam similitudinem demonstrat, utitur triangulo EGD medio cui uterque dictorum similis est. Quoniam rectanguli pene ut ipse dicit omnes sunt; quasi non omnino sint rectanguli quos tamen rectangulos ad unguem esse oportet. quod et ipse seipsum arguens sufficetur ubi paulo post interventu trigesimesecunde primi Elementorum duos triangulos EGH et EGD equiangulos esse ostendit quoniam ambo rectanguli sunt et angulu E communem habent. Similiter per eadem media duoas triangulos HGD et EGD concludit similes. Quid itaque delirum impellere potuit ut de similitudine huiuscemodi triangulorum ambigeret comperire nequeo nisi quod dum initium syllogismi sui textuit elemtna geometrica ad propositum conducentia non \ dum vidit / tenuit. Sed interscribendum \ didicit / ad trigesima secundam primi Elementorum confugiens ut institutum suum \ quasi grande aliquid / exigeret/exequeretur. [22] O expositorem \ luculentem / O mathematicarum illustratorem qui \ in / Ptolemeo interpretando edipode \ edipo / aliquo ad exposiunticulas suas egeret O hominem \ potius / temerarium et peraudacem Folio 71v [Back to Top] view facsimile qui ignorantiam suam Jacobo Antonio Marcello patricio veneto olim venditam, nunc demum Matthie pannoniarum regi redicare non erubuit. Quid usquam importunius, quid iniquius, quid denique abhominabilius hoc monstro potest inveniri? Nempe pro fama, pro populari applausu, pro eternitate nominis quas iam prefatiuncula sua pollicebatur dedecus, risum et interitum memorie suggerit. [23] Sed cum dicendo iniquitas eius equari nequeat \ satis / quod reliquum est indicibus optimis reservamus. ad calcem effutiarum inantium properantes. Ergo ubi utrumque triangulorum EGH et HGD similem esse triangulo EGD docuit; subinfert per principium eos inter se esse similes quasi tanto apparatu, tanto sudere res digna tandem sit effecta. Und et per quarti sexti latera eorum proportionalia enunciat. Et ubi nescio quibus furiis agitatus in tenebris diu oberravit, postremo in scrobem impudens cadit dum proportionem EG ad GD subinfert esse sicut ut proportionem HG ad eundem GD et tandem EG equalem esse ipsi HG quod profecto est impossibile Euclide per decimumoctavum primi voluminis theorema reclamante. Sic post multos labores vix conclusasimilitudine triangulorum EGH et HGD dum ngligit collationem ad extremum se precipitat inconveniens dignus certe qui non modo rideatur sed et omni contemptu succultetur. Porro quod sibiungit a \ autori suo / mendacium obiectat. Sed nulla inquit in circulo potest duci linea que sit equalis diametro. Iam vero \ quamvis ineper / conclusum est lineam EG equalem esse ipsi HG. Cumque EG et \ EI / semidiametri equales sunt/sint, erit et EI equalis linee HG. Quare dupla id est EI diameter circuli duple, scilicet BG equalis insertur. Itaque si verum erat quod enunciabis EG equalem esse ipsi HG, iam in circulo ducta est BG preter centrum equalis diametro. Sic quocumque te ventas omnia collisione quadam reciproca ac continue repugnantia involvuntur etsi omnia que assumuntur \ porro / constarent non tamen ad hoc propositum conducerent. Eadem enim ratio Folio 72r [Back to Top] view facsimile accommodaretur ad \ quocumque intervallum oculi et globi perpectu / Potest autem oculus globo perspecto appropinquare adeo ut puncta contactuum \ aliquando / per sextam circuli partem distent unde et eorum intercapedo id est diameter perspecta latus sexanguli equilateri equabit, quod equidem equale est semidiametro circuli. Quamobrem diameter circuli vera ad diametrum perspectam dupla invenietur et ideo differentia earum id est ipsa circuli semidiameter sensu percpetibilis erit. Quod si constaret lineam DG indifferente quodam superare lineam DH iam tum quasi impromptu haberetur linearum quoque EG et H differentiam esse insensibilem; similitudinem triangulorum EGH et HDG id efficiente. Verum illud assumi non licet nisi longitudines linearum \ note / sint absque quarum certe noticia ex angulo perspectionis dependet. Si itaque res signa quesitu videtur, pone oculum et centrum globi in plano quopiam ipsum \ globum / secante ut communis sectio Theodosio demonstratum fiat circulus ATBG ceteris ut ante dispositis; cum itaque angulus BDG globum solarem comprehendens \ veluti instrumento percipitur / non sit maior 32 sexagesimis unius gradus, erit dimidius EDG haudquaquam maior 16 huiusmodi sexagesimis et item equalis ei EGH sive IEG 16 sexagesimas non transcendet. Quare arcus quoque IG totidem sexagesimas unius gradus non superabit; et ideo reliquus de quadrante arcus GL maior erit quam 89 43′ cuius sinus rectus maior est quam 59999 posito sinu toto, id est semidiametro EG 60000. Horum autem minorum differentia est unitas; quamobrem differentia linearum EG et GH minor est una particula ex 60000 partibus. Et differentia duplarum TI et BG minor duabus particulis talibus que sit ne sensu perceptibilis aut digna meditatione an non iudicio tuo relinquitur: non enim expositoris officium usurpare decrevimus, sed doctrinam expositoris nostri detegere que et inferius circa capitulum sextumdecimum satis cognosci potest; ubi in hunc textum "Facilis autem hinc intellectu fit. Facilis, inquit, intellectu est solidarum" \ [24]proportionem triplicare est cum ter continuatis terminis statuere / Folio 72v [Back to Top] view facsimile "magnitudinum proportio cognitis diametris earum; demonstratum enim est in 29a duodecimi Elementorum eam esse proportionem sphere ad spheram que est diametri ad diametrum triplicata; triplicatum autem esse dicitur quod in se bis ducitur ut si dicas bis duo bis octo, et ter tria ter 27." Hec ille. Triplicatum esse dicit quod in se bis ducitur; novam et supervacuam ac prorsus ineptam asserens diffinitionem. Nam si communi vocabulorum usu inniti velimus, triplicari idem dicitur quod per ternarum extenditur sicut multipliari dicimus, quod per multitudinem quopiam augetur. Si vero per metaphoram ut assolet peculiarem \ quandam / presenti negotio triplicationem assumere libuerit secundum mentem expositoris arithmeticam in proportionibus statuemus quod in auditum et omnino absonum est; additionem enim et subtrationem dividiationem atque duplationem in proportionibus exercentis [25] quamvis ne id quidem satis idonee si naturam proportionis recte animadvertimus: multiplicari autem proportionem per seipsam aut per aliam proportionem a nemine unquam vidimus. Sed fortasse per proportionem intelligis denominationem suam que scilicet proportionis magnitudinem exprimere solet; ita ut proportionem triplicari sit denominationem suam bis in se duci; quid queso habebis dicere de triplicanda proportione irrationali cuius videlicet ternum incommensibiles sunt? \ [26]Contra illam demonstrationem demonstratio proportionis quantitas que ducta in antecedentem producit consequentem / ut si in proposito diametri duarum spherarum nulla communi mensura participere: dices ne demonstrationem eius proportionis que nulla est in se bis ut triplicatam reddas proportionem? confugies nisi me fallit animus ad eos qui demonstrationem proportionis definiunt esse quantitatem que ducta in consequentem proportionis terminum redit antecedentem. Ita ut incommensibilibus, verbi gratia, lineis propositis demonstratio proportionis sue non sit numerus sed alia quantitas que ducta in consequentem producat antecedentem; hec igitur quantitas aut erit linea aut superficies Folio 73r [Back to Top] view facsimile solum namque illa duo genera ad ductionem accommodari possunt. Ductio enim non est aliud quam nove dimensionis adgeneratio. Corpus vero ad ductionem activam non spectat quippe \ cum / triplici \ ac omnifaria / dimensione constet ductio autem sit nove dimensionis illatio, sicut et linea ductionem se generantem non admittatur, sed fluxum puncti cuius vestigatio describitur. Si itaque quantitas denominatrix proportionis memorate fuerit linea, ex ea in consequentem ducta nascetur superficies quam impossibile est equalem esse antecedenti, cum ne comparari quidem ad eam possit. Si vero fuerit superficies, ex ea in consequentem ducta fiet corpus quod pari ratione non potest esse equale antecedenti. Qui ergo duplicationem aut triplicationem vel quamvis aliam multiplicationem proportionis date per multiplicationem denomiantionis diffiniunt. Nihil dicunt immo potius ad impossibile se turpiter \ [27] inepte / detorqueant, sequentes puerilia quedam rudimenta ad proprietatem et noticiam proportionum ducentia. Nempe cum proportio non sit quantitas que abstracte quodammodo possit ostendi oculis nisi ad terminos suos reperiatur, imo verius omnino non sit quantitas sed relatio in quantitate fundata sepe autem usuveniat in methmeticis de duplicatione aut triplicatione et ceteris \ proportionum / multiplicationibus tractandum sit, magistri ludorum mathematicorum discipulos suos ad noticiam earum rerum introducere volentes in primis usi sunt exemplis proportionum rationalium et earum quidem in numeris potissimum ut demonstrationibes id est quotiens alter triorum proportionis in altero vel pars aut partes eius continerentur \ numeris quibusdam / ante oculos ponerent. Itaque magnitudinem proportionis usu quodam et memoria creditum est tandem in tali denominatione constituere. Hinc processum est ad collationes proportionum ut propositis verbi gratia duabus talibus utra(!) maior esset, intelligeretur per comparationem minorum ipsis proportiones denominantium. Rursus duplicationem itum est et triplicationem ac ulteriores multiplicationes duplicari quidem \ [28] de proportionibus proportionum et item proportionibus proportionum proportionum arguit ridiculum / Folio 73v [Back to Top] view facsimile proportionem diffinitum est denominationem proportionis semel in se duci: triplciari autem denominationem bis in se duci et generaliter proportionem quamlibet per quemlibet numerum multiplicari creditum est denominatorem suum totiens in se duci quotus est numerus multiplicationis unitate dempta. Hinc demum ad compositiones proportionum factus est transitus. Proportionem enim pomni ex aliis diffinerunt denominationem illius ex denominationibus istarum produci postremo etiam ad proportiones proportionum \ audentius quam probabilius / ventum est. Ita ut denominatio huiuscemodi proportionis secundarie non sumpta est ex proportione numerorum denominantium proportiones inter se collatas, sed ex numero ostendente quotiens minorem replicari oporteat ut mario subiectarum proportionum inde nascitur. Verbi gratia proportionem proportionis nocuple ad proportionem triplam non dixerunt triplam quam visu denominator minoris ternarius ter in denominatore maioris novenario continetur, sed duplam appellarunt eam proportionem subiectarum proportionum quoniam minori proportione duplicata, id est denominatione eius semel in se ducta nascitur denomiantio maioris subiectarum proportionum. Et si \ satis certum est / est in [29] proportionibus quoque reperiri proportiones sicut in quantitatibus quod equidem asseverare numquam volim quamvis omnes sciole calculatorum hac opiniuncula sint infecte quis \ unquam / in huiuscemodi proportionum ascensu processum in infinitum prohibere poterit? Nam sicuti proportionum in quantitatibus fundatarum est aliqua proportio [30] ita etiam proportionum in proportionibus fundatarum reperire erit proportiones et illarum deinceps absque statu, proportionum proportiones assignari \ oportebit / \ Illud / non dico \ assero / \ dixerim / tanquam rationem proportiones proportionum impugnantem, acriori enim et firmiori demonstrationis genere ea\ opinio / \ extirpare potest vide si ad propositum conducit / verum ut ostendatur vanitas quorundam qui puerilibus et caducis plerumque innixi fundamentis diem terunt in huiuscemodi de argutiolis. Ceterum que hactenus de proportionum denominationibus ac multiplicationibus compositionibusque percursa sunt, quamvis ab arithmetico professore haud iniuria adduci et pro arbitrio suo definiri atque decerni possunt, quippe cuius disciplina quidem \ absoluta / singularisque est nulla prorsus externa Folio 74r [Back to Top] view facsimile ope egens \ quandoquidem omnes a se considerate quantitates sunt commensibiles / geometra tamen non modo ridiculus verumetiam vanus omnino \ erit / si \ et nequaquam inconstans / quando ad proportionum denominationes tanquam ad asylum confugerit sive proportionum magnitudines sive multiplicationes sive etiam quascumque compositiones quantitatum incommensibilium accommodare poterit si huiuscemodi denominationibus fidere pergat \ cong..re reperit / [31] \ Sed et Euclidem inscitie imprudenterclare insimulabit quandoquidem quinto Elementorum volumini proposuit disciplinam numerorum que duplicationes triplicationes et generaliter quascumque multiplicationes ac compositiones proportionum de quibus partim in eo libro agitur spectare videtur. / Euclides geometrice discipline parens sapientius rem animadvertit: ubi duplicationem et triplicationem proportionum definivit si quando tres essent quantitates continue proportionales proportionem prime ad tertiam esse proportionem duplicatam prime ad secundam. Si vero quatuor continue proportionales subiicerentur, proportionem prime ad quartam esse triplicatam proportionem prime ad secundam, quamvis \ enim / formulam scholarie \ stice [32] / diffinitionis non servaverit, sed hypothetice potius quam categorice facilitatis gratia decretum suum insinuaverit potest tamen quisquis \ rationes compos / diffinitiones usitatas illinc venari in hunc ferme modum proportionem duplicari est eam bis in terminis continuis statui. Triplicari proportionem est eam ter in coherentibus terminis constituere. Proportionem \ rursus / multiplicari est eam multotiens continuitate terminorum extendere. Duplicata autem proportio respectu alterius est inter cuius terminos medios statuitur communis duabus proportionibus equalibus. Triplicata vero cuius terminis duo medii communes, tribus proportionibus equalibus interponuntur. Sed hec \ profecto non tam obscura sunt / ut ab Euclide recedentem [33] quamvis plerisque omnes a talibus diffinitionibus hypotheticis avertantur inde adeo quod theorematis magis quam usitate diffinitionis specie pre se ferant, quod et circa compositionem proportionum accidere solet. Si enim dicitur \ inquit / fuerint quotlibet eodem genere quantitates coordinate proportio extremarum ex proportionibus mediarum una cum extremis composita vocabitur. Hec diffinitio etsi pro mera voluntate professoris sit edita; videtur tamen redolere generandi abstrusam \ proportionum / \ Passionem / \ conditionem / que potius demonstranda more theorematis quam ab intellectu Folio 74v [Back to Top] view facsimile simpliciter et apprime \ summenda videatur /. Itaque cum diffinitionibus mathematicis perinde quasi principiis utendum sit in diffinitione autem memorata non nihil ab intellectu remotum et demonstratione media egens latere videatur ea difinitio negligi cepta est. Longum esset narrare quos \ quantosque presertim latinos / viros \ fundi / de causa in geometria deficere contigetur qui etsi discipline illius illustrande gratia expositorio numere functi sint; tot tamen tantas tamque fedas intricationes fecerunt ut non nullis materibus prebita sit occasio lacerande geometrie quippe principium quod de una racta duabus incidente statuitur ut eius adminiculo equalitas coalternorum angulorum ostendatur si quando recta quepiam duabus equidistantibus inciderit obscurius et ab intellectu remotius esse clamant quam conclusionem ex ipso demonstrandam. Quod quidem apud alios petitionbus geometricis adiungitur; alii vero ab utrisque prorsus excludunt reliquis principiis contenti sed mutata diffinitiones equidistantium linaerum. Quid de angulo contingente proportionalium: quas alii quidem longo verborum \ involucra / et multo sudore laborantes per similes equimultiplicium proportiones diffiniunt proportionalitatem scilicet per proportionalitatem hoc est idem per seipsoum diffinientes. Alii vero eam diffinitiones geometrice inquinamentis expurganidsque contagionibus alibi plenius differendum est ne diverticulo longiori recessisse ab non stituto videamur. Satis erit impresentiarum ruditatem expositoris tetigisse \ promulgasse / circa proportionis triplicationem; que non ut ille arbitratur in geometria per denominationes accipienda est sed per adiunctionem duorum terminorum ita quod in quatuor quantitatibus coherentibus tres fiant equales proportiones. Quod ut apertius fiat; intellige duos luminarium globos AB quidem solis, CD autem lune. Diameter solis sit AB, lune autem diameter CD, quibus subiungatur tertia linea proportionalis EF; itam itauque proportio AB linee ad CD duplicata est; rursus subiungatur alia proportionalis GH, ita ut quatuor linee AB, CD, EF et GH fiant continue proportionales; iam proportio AB linee ad CD tri- Folio 75r [Back to Top] view facsimile plicata est et inde emersie proportio ab linee ad GH. Quando itaque dicitur proportionem spherarum propositarum esse diametrorum suarum proportionem triplicatam non aliud significatur quam quod proportio globi AB ad globum CD est sicut linee AB ad lineam GH. Sic ceterum proportionem circuli AB ad circulum CD esset; sint diametri AB ad diametrum CD proportionem duplicata; non est aliud quam proportionem circulorum circuli AB ad circulum CD esse sicut linee AB ad lineam EF. Hec et alia multa latuisse expositorem crediderim non quod res tam tenues addiscere nequierit sed quod ad maledicendum propensior fuerit adeo ut \ ad questum inhiantior (?) aut omne studium suum / omnesque vires e texendis calumniis impenderit. \ Nempe illud / vel ex eo manifestari potest quod paulo inferius eos stomacho suo perversissimo insectatur qui distantias \ luminarium / a terra in numeros miliariorum et cubitorum resolvere connatur: ignorans utique aut inforare se fingens quod moderamine et qua conditione huiuscemodi enunciamenta accipi debeant. Verba huius hominis insidiosi audiantur super hac Ptolemei litteram: "Qui vero est a tribus duobusque. Diameter lune, inquit, ponitur unus et cubus eius unum; diameter terre 3 24′; Diameter solis 18 48′ proxime; viam enim tradit ac ideo parvas differentias relinquit. Unde stultu penitus fuisse videntur qui has distantias et diametros ad miliaria et ad cubitos reducere conati sunt; multa enim pretermittuntur. Nam cum semel quantitas continue non absolvatur per integra sed ad incisionem lapsa sit in intuitum non numquam procedit divisio. Si ergo multa \ [34]Notat Alfraganum / secunda et tertia quartaque ac ulterius relinquuntur, quorum quodlibet multo maioris quam miliarium quantitatis est, quid isti narrant quasi plus viderint omnium hominum acutissimo Ptolemeo? Qui prudentissime hominem se esse cognovit intellexitque satis esse homini hac in vita diametrum ab illa et hanc spheram ab illa contineri sciamus. Quare mihi prudentiam huius hominis admirari videtur non esse ad minutissima hec in rebus tam magnis descendendum." Hec ille malignus interpres omnium ingeniorum in eos contorsit admodum inhumaniter qui tantas luminarium a terra \ Item de mediis motibus stellarum Ptolemeus subjecto fecit. Item in numerando ambitu terrestri / Folio 75v [Back to Top] view facsimile distantias in mensuras quosdam exiguas redegerunt non quidem ut iureiurando assevererent tot vel tot esse ad unguem miliaria in proposito quopiam intervallo sed conditione quadam subaudita si intercapedo ipsa \ cum aliis adminiculis / ad unguem esset elicita; tunc demum in ea tot vel to miliaria aut cubitos vel aliud mensure genus complecti enunciarunt. Hanc autem conditionem retinerunt quo res dictu mirabiliter redderetur, posse videlicet hominem fragilem ad penetralia celorum quasi per scalas quasdam gradu cubitali distinctas conscendere. Talis enim illecebra arbitrabantur discipulos ingenuos magis atque magis ad excellentiam studii mathematici provocatum iri. Non quidem ut Ptolemei doctrinam extenuarent ut falso omne viciator ille autumat, verum potius ut eam laudibus amplioribus accumularent, quandoquidem demonstrationibus eius suppositis tam recondite tamque excelse res investigari; docti certe exemplo auctoris qui ex magnitudine solaris anni crassa ut aiunt inspectione animadversi motum solis medium \ [35]vide Ptolemeum / ad octavum usque sexagesimarum ordinem extendit quasi vero tam minutissime zodiaci particule ad quopiam comprehendi possent. Adde quod intervallum Solis et Terre semidiametro terrestri dimensus est; qua in re si preteriri potuisse dixerim plusculas terre semidiametros non deerunt mihi testes gravissimi verum ante omnes Albategnius arabus vir summa modestia et doctrina excellenti cuius abaco astronomico omnes \ ferme / in hunc usque diem schole sunt referte. Is enim ubi defectus luminarium aliis temporibus ac alia magnitudine oculo deprehendit quam per calculum Ptolem aicum eliciebantur sepe et multum cogitans undecima accidere posset illa varietas, tandem nota nullis motibus instauratis diametros quoque luminarium exactius investigavit ratus illinc fieri posse ut numeratio Ptolemei\ quamavis argutissimi / propter vetustitatem secutus vestigia eius propriis tamen que per visum deprehendit innixus principiis. Folio 76r [Back to Top] view facsimile conclusit 1146 semidiametros terrestres contineri in distantia solis á terra quam Ptolemeus antea posuit Terre semidiametrum complexti 1210 vicibus. Tantum igitur interfuit inter numeros tantorum virorum quantam terrestris semidiameter quarter et sexagies constructa longitudinem facere potest, que differentia sensibilis ne fit an non indicet quincumque velit. \ Etsi / tantam differentia in miliaria aut cubitos secueris, nonne multo longius imo si bona \ facili [36] / pace \ venia [37] / dici potest multo turpius discrepant tanti duo astronomie principes quam quisquis á Ptolemeo mutuatum solis et terre intercapedinem in cubitos resolvens ab ipsa veritate recedere potest; nam etsi minutie quantecumque unius semidiametri terrestis pretereantur differentia tamen si qua inter mensorem et ipsam veritatem invenitur ne unam quidem terre semidiametrum equare potest. Sed nesciebas bone vir quod telum istud tuum inclementer \ stomachose / in alios iactum. Longe dignius in teipsum retroqueri posset quippe qui circa principium noni voluminis Ptolemaici rem quasi diurnam patefacturus in eandem stulticiam si ita dici debet incidis ubi semidiametrum terrestrem substivis mensuram qua discerni queant stellarum omnium á terra remotiones. Nam in eo calculo tam vario tamque crebro quot minutias vel omitti vel superaccipi putas? Quocerte fieri oportet ut prius quam ad celum pervenias stellatum plusculas terre semidiametros neglexeris. Qui autem á veritate aberrat in unica semidiametro tot miliariis \ solum / aut tot cubitis veritatem fraudat quot in ea semidiametro contineretur \ Notabis eius errorem in eo loco / \ Sed qui plusculas etiam terrestres preterit semidiametros is longe remotius á meta veritatis deviat; quare cum illos penitus stultos appellare ausis quod curiosa quadam supputatiuncula ad cubitalem mensionem descendant; tu ipse haud iniuriam stultissimus omnium haberi debes qui ne semidiametros quidem terre sub certo numero complecti potes. / Noli ergo deterreri quicumque celestem hanc disciplinam sectaris, neque remissior fieri in perlegendis priscorum monumentis potius uná mecum \ et / admirare Ptolemeum peracutum et gratias age ceteris quibuscumque veritatis inquisitoribus, qui etsi ab errore non semper immunes esse potuerunt, quia tamen extremam Folio 76v [Back to Top] view facsimile homini possiblem vigilantiam usui nostro exercuerunt \ impenderunt [38] / non modo non floccifiendi verum etiam colendi laudandi et perpetuo extollendi sunt. Sed expositor noster ab hoc officio et gratitudine longe alienus indignum se fecit doctrina priscorum hominum dum maledicendi occasione diligentius quam discendi commoditatem \ exquirit /. Adeo enim perpetuis delectatur conciniis ut facile credas hominem \ tam / perversum calumnie magis quam expositioni studuisse, quod ex commento quoque capituli decimi septimi potest cognosci; ubi paulo post initium: "In aliis, inquit, superioribus propter minimam distantiam a terra et propinquitatem ad zodiacum nulla diversitas potest inveniri. Si ergo semidiameter terre diversitatem aspectus non variat in superioribus sole, miror quod quidam miliarium etiam unum distante illorum invenire se potuisse crediderunt." Remotiones stellarum supra solem decrementum, bone vir, non sunt investigare per diversitatem aspectus earum: nulla enim talis est que sensus percipi queat. Sed per remotionem solis a terra que \ quidem / ex diversitate aspectus non sua sed lunari aliis coassumptis adminiculis est elicita. Cum autem remotio solis maxima sit, minima remotio Martis interiectis utriusque ut assolet semidiametris iam per quendam transitum minima Martis remotio innotuit; est autem ipsa eadem remotio ad semidiametrum eccentrici martialis cognita, cuius etiam respectu maxima Martis remotio declarata est: sic proportio duarum remotionum Martis data est quoniam semidiametro eccentrici commensurator perhibentur; facta itaque traductione huius proportionis ad alios terminos quorunus quidem iam notus est videlicet remotionis minoris ad semidiametrum terrestrem collate, erit et reliquus terminus, videlicet remotionis maioris, eodem respectu cognitus. Rursus maxima Martis remotio una cum semidiametro planete minima Iovis supponitur; unde facto simili transitu ad remotionem Iovis maiororem(!) pervenietur. Et ita consequenter donec ad celum ascendetur stellatum. Iam vero de resolutione quidem immutiori in miliaria quoniam aliunde liquet, silendum de insolentia autem commentatoris paulo amplius loquendum qui sive dormitet sive oblivione laboret argumentatione Folio 77r [Back to Top] view facsimile proprie obnoxius est. Nam si in remotionibus stellarum supra solem positarum miliaria ideo comprehendi nequeunt, quia diversitates aspectu nulla in eis per visum comprehendi potest unde remotiones stellarum addiscuntur, quomodo iactabundus ille in capite noni voluminis remotiones talium stellarum ad terre semidiametrum conferre potuit, quandoquidem si solida est argumentatio remotiones ille comprehendi non possunt nulla diversitate aspectus existente? Hactenus de maligna expositoris opinione adversus eos quid studium astronomicum decorare visi sunt; nunc \ obscenum eius / commentioni vanamque dicacitatem quibus litteram capituli sequentis claram admodum nullaque interpretatione egentem obscuravit: [Diagram]Ptolemei verba hec sunt: Sit ABGD eccentricus lune circulus circa centrum E et diametrum AEG in qua centrum zodiaci circuli sit F, protractaque BFD supponatur rursum uterque angulus AFB et GFD talium 60 qualium quatuor recti sunt 360, quod accidit si distantia quando quidem centrum epicycli fuerit in B puncto 60 graduum sit, quando vero in D graduum 120 coniunctisque lineis etc. Hic ex angulo AFB, id est EFB supposito et data proportione semidiametri eccentrici BE ad eccentricitatem queritur utraque linearum BF et FD, quibus centrum epicycli in subiectis sitibus a centro zodiaci removetur. Quod per quam facilimum inventu est cuique vix mediocrem habenti triangulorum disciplinam; blaterator autem iste pro solita sua temeritate synceram Ptolemei dictionem non tam exponit quam obtenebrat, advertens duos eccentrici arcus AB et GD quorum notitia neque necessaria est neque utilis impresentiarum siquidem magnitudines angulorum suppositorum non desinunt neque secundum eos perpenditur remotio epicycli ab altera longitudinum extremarum eccentrici. Verum ne per acerbitatem causari reum videar; audiatur homo iste: "Uterque, inquit, angulus 60 graduum suppositus est; et quoniam in centro zodiaci sunt ideo in circulo qui per medium signorum est equales arcus continent; quoniamque omnis motus in eo consideratur. Idcirco cum anguli oppositi qui sunt in F per 15 primi Elementorum sunt equales; arcus GD dicitur esse equalis arcu AB" Folio 77v [Back to Top] view facsimile "Nam si uterque angulus est 60, necessario uterque AB et GD 60 eorundem est si eius circuli sunt cuius F centrum est. Sed punctum D distat ab A maxima longitudine 120. Necessario ergo DG reliquus arcus est reliquorum ad semicirculum 60, referendo semper ad zodiacum quo motus omnes referuntur." Hec ille. Sed quid queso opus erat ostendere duos arcus AB et GD esse quales? Cum ipsi neque equales esse possunt, neque proposito auctoris conducant. Atqui eos arcus inequales esse ne ipse quidem nugator si non sanus sit inficiabitur. Unde et caute loqui volens enuntiationem equalitatis non sibi sed nescio cui asscribit(!) arcus inquit GD dicitur esse qualis arcui AB. A quo obsecro illud dicitur nisi a teipso qui hac atque illac fluctuaris. Velles quidem concludere sed non audes propter diversitatem centrorum E et F. Nihilominus ita nebulas tuas de arcubus eccentrici \ con / texis ut et Ptolemeum de eisdem locutum esse videatur. Siccine clarissimus ille mathematicorum exponendus erat? Ita discipline syderalis amatores introducendi sunt ad Ptolemeum intelligendum? Ubi tu pedem sistere dubites discipulos certi quicquam prendere arbitraris. Verum ex hac tua fluctuanti et iniqua expositione non tantum incommodum lectori accedere puto, quantum ex iis que super capitulo vigesimo confudisti: ubi de triplici diversitate aspectus differens neque teipsum intellixisti neque alios docere potuisti; nihil illic constantis nihili certi traditur. Sed quemadmodum musca in telam incidens aranee diu ac multum susurrans expedire se nequit , ita \ ubi / in hanc diversitatum sermonem descendisti adeo irretiris ut nihil preter inanem linguam mente procul absente \ posita / [39] movere possis. Audite, queso, iudices equissimi, delicta huius hominis ignorantissimi ut siquando dignum de eo supplicium sumpserimus iuste ad factum esse confiteamini. Verum quo manifestius errata dua pernoscatis, si qui vestrum res impresentiarum tractatas non satis calleant, preambula nostra prius animadvertant. Locum stelle verum indicat recta linea a centro zodiaci per centrum stelle ad zodiacum ipsum extensa. Punctus nanque supremus talis linee pro loco stelle vero apud astronomos accipitur. Apparens autem stells locus est quem monstrat recta á centro oculi per centrum stelle ad zodiacum exporrecta. Hec autem loca semper Folio 78r [Back to Top] view facsimile sunt diversa preterquam dum centrum stelle in linea verticali constituitur que scilicet á centro mundi per centrum oculi aut verticem capitis (pro eodem nanque hic reputantur sursum porrigitur) in qua etiam linea utrimque prolongata poli orizontis reperiuntur: in qua etiam linea utrimque prolongata poli orizontis reperiuntur. Hec enim linea cum sit unica tam a centro mundi quam a centro oculi per centrum stelle egrediens in celo non potest nisi unicum offendere punctum quod pro utroque stelle loca diversa sunt, semper in uno et eodem verticali circulo constituuntur. Cum enim due recte locorum stelle indices una cum semidiametro terre id est intercapedine oculi et centri terrestris, planum \ quemdam / claudant triangulum cuius planities undique versum excrescens secait mundum sphericum in circulo quodam per punctum verticalem incedente unde et cognomentum sortitus. In eo etiam circulo uterque stelle locus perpenditur quoniam linee recte talium locorum indices in eo predicte sunt. Arcus itaque verum scilicet et apparentem continetur vocari solet diversitas aspectus stelle quoniam per eum arcum \ sensu indice / stella divertitur a loco suo vero. Hanc diversitatem aspectus multifariam invenimus cognomentum et si enim simpliciter absque epitheti diversitas aspectus \ propter officium suum / vocari mereatur; alii tamen universalem vocant quod potentia quadam duas alias diversitates complextatur de quibus infra disserendum est; alii appellant diversitatem aspectus absolutam, non nulli simplicem agnominant; nos autem quemadmodum plerique omnes diversitatem aspectus in altitudine cognominabimus ut \ inde / quoddam officium eius insinuetur; ipsa \ namque / est differentia duarum stelle altitudinum sive elevationum super orizontem; vere scilicet apparentisque et simul affinitas quedam ad reliquas duas innotescat; nam sunt altera quidem duorum reliquarum diversitas aspecti in longitudine; alter autem in latitudine, ita hec diversitas aspectus in altitudine rite agnominabitur, facta videlicet translatione a tribus quantitatum dimensionibus; ceterum cum omnes loca stellarum aut in line solari sunt aut ad eam non iniuria reducantur si cuiuspiam Folio 78v [Back to Top] view facsimile stelle locus extra eam fuerit reduce solet decreto astronomorum rationabili ad punctum ecliptice quam vicinissimum qui ob eam reductionem locus stelle secundum longitudinem dicitur; arcus autem circuli maioris qui primarum stelle locum cum loco reductio coniungit qui et brevissimus et ad viam solarem rectus est, latitudo stelle vocari solet. Talis autem arcus si in circulum utrimque excrescat, polos vie solaris necessario offendet. Hinc est quod locum stelle cuiuscumque secundum longitudinem diffinimus eum ecliptice punctum ipso stelle propinquissimum per quem incedit circulus magnus ecliptice polos et centrum stelle complectens; cuius quidem portio inter locum stelle primarium et orbitam solis comprehensa latitudo nuncupatur. Igitur stella queque diversitati aspectus obnoxia, cum duo in celo habeat loca primaria (sic enim discretionis gratia loquimur) duo quoque \ semper / habebit loca reductitia preterquam dum unus et idem circulus polos ecliptice complectens utrumque stelle locum er verum et apparentem continet, quod accidit polis ecliptice et polis orizontis una cum centro stelle eundem circulum magnum possidentibus quando etiam locus stelle secundum longitudinem equaliter ab orientali ecliptice puncto et occidentali removetur. Locus itaque stelle verum secundum longitudinem est punctus vie solaris per quod incedit circulus magnus centrum stelle et polos ecliptice continens. Apparens autem locus stelle secundum longitudinem est punctus in quo secatur ecliptica á circulo magno polos ipsius ecliptice et locum stelle apparentium continente. Arcus autem vie solaris hec duo loca seiungens vocari solet diversitas aspectus in longitudine; eo enim intevallo stella divertitur a loco suo vero secundum longitudinem. Ceterum duplici existente loco primario se uterque eorum extra eclipticam reperiatur, duplicem haud iniuria latitudinem stelle vendicabimus veram et apparentem sive visam. Veram latitudinem superius diffinivimus esse arcum. Circuli magni per polos ecliptice et centrum stelle descripti qui inter verum stelle locum et eclipticam ipsam concluditur. Apparens autem sive visa latitudo est arcus circuli magni polos ecliptice et apparentem stelle locum complectentis qui inter apparentem stelle locum atque eclipticam ipsam continetur. Portio autem huius dicti Folio 79r [Back to Top] view facsimile circuli clausi inter duos ecliptice equidistantes quorum alter quidem per verum alter autem per apparentem stelle locum incedit diversitas aspectus in latitudine nuncupari solet. Tanto enim intervallo divertitur stella per visum a termino vere latitudinis sue, id est á parallelo per locum eius verum incedente. Ut autem hec omnia fiant dilucidiora sit centrum terre T, centrum oculi R et centrum stelle S; planities per hec tria centra undique excrescens secet globum terre in circulo QR, orbem [40] autem stelle in circulo AO ducaturque á centro zodiaci per centrum oculi linea recta \ TA / usque ad firmamentum, que vocabitur linea verticalis. Illuc etiam protenditur due alie, una quidem á centro mundi per centrum stelle que sit TE; alia vero \ RO / á centro oculi per centrum eiusdem stelle. In quocumque itaque puncto linee verticalis TA posueri stellam, locus eius tam verus quam apparens in A [41] puncto cernetur. Sed si eam extra verticalem statueris lineam veluti in puncto S, iam due linee locorum indices ultram centrum stelle disperguntur et ad duo diversa celi puncta desinunt, quorum E quidem locus verus stelle, O autem locus apparens perhibetur, et arcus EO medius, diversitas aspectus agnominantur. Rursus in alia figura intelligatur A [42] punctus verticalis, id est polus orizontis superius, á quo per E locum stelle verum descendat arcus circuli magni AB qui in precedenti figura erat circulus AEO. Hanc enim secundam figuram spectari oportet perinde quasi oculus extra spheram poneretur aut quemadmodum globus huiuscemodi circulis insignibus in manu contemplatoris gestaretur. Locus deinde stelle visus sit O; erit itaque arcus EO sicuti in precedenti figura diversitas aspectus in altitudine describatur etiam portio ecliptice \ CD / cuius polus borealis P á quo per duo puncta E et O producantur duo quadrantes circulorum magnorum PV et PN; erit itaque V verus . N autem apparens stelle locus secundum longitudinem et arcus VN diversitas aspectus eius in longitudine. Porro per duo puncta E et O ducantur duo circuli minores FG et HK ecliptice equedistantes, qui prescriptos quadrantes secent in punctis I et M; erit itaque arcus \ quidem / EV latitudo stelle vera; ON autem longitudo eius visa sive apparens; tanto enim Folio 79v [Back to Top] view facsimile recessu penes sensum stella eclipticam deserit; arcus autem EI, id est MO, equalis ei per Theodosii vocaturt diversitas aspectus in latitudine; tantus enim interest inter veram stelle latitudinem et apparentem sive visa. Id ipsum in reliqua quoque descriptione contemplari debes hoc uno paulisper immutato quo latitudo stelle vera et latitudo visa ad diversas ecliptice partes vergunt ecliptica inter duos sibi equidistantes collocata que prius utrumque eorum uni parti sue vel boreali vel austrine vendicavit. Hec paucula presentis negotii libamenta premittere premonere libuit non quo expositoris munus usurparemus; sic enim diffusius agendum esset sed quo facilius iudicare quisquis posset quanta peritia fuerit commentator noster in his revus que ad motum lune apparentem sive internoscendum sive eitam computandum pertinent. Neque has diffinitiones nostra pro arbitrio ut solent primarii artium scriptores conteximus, verum ex sententia et usu Ptolemei atque aliorum de hisce rebus disserentium pluscula hec monimenta decerpsimus, quod quam recte cum mente Ptolemei quadret nisi longior forem, non graverer amplius lucubrare. Nunc demum audiamus psum commentatorem sua verba depromentem super capitulo vigesimo: "Ista igitur, inquit, quam iam habuimus est arcus circuli per punctum verticis et centrum luminaris interiectus inter punctum zodiaci, hoc est sectionis ubi lunare est per computationem et punctum circuli per verticem ubi est per aspectum. Diversitas autem aspectus" [Diagram] \ [43] he tres figure spectant ad precedentia—including the one at top of 80r / Folio 80r [Back to Top] view facsimile "in latitudine est arcus circuli descripti [Diagram] per punctum orbis signorum ubi est lunare secundum computationem secantis orthogonaliter circulum qui describitur per punctum ubi lunare est in circulo per verticem secundum aspectum et per polos zodiaci qui arcus est inter dictum orbis signorum punctum et punctum ubi secatur dictus circulus orthogonaliter ut dictum est. Diversitas vero aspectus in longitudine est arcus circuli per medium signrum inter prunctum luminaris per computationem et punctum ubi secatur zodiacus á secante orthogonaliter arcum diversitatis latitudinis." In quibus quidem verbis id primum vicio datur quod diversitatem altitudinis ad zodiacum refert quasi vero zodiacus rationem eius ingrediatur; quod quam falsum sit vel ex inquisitione eiusmodi diversitatis declarari potest exemplo Ptolemei qui per triangulum in trius centras terre, oculi et stelle cuspies suas habentem investigat anc diversitatem aspectus, supposita remotione luminaris á centro mundi respectu semidiametri terrestis, una cum angulo quem ipsa eadem remotio continet cum linea verticali. Hanc nempe remotionem servando, mutato dumtaxat angulo distantie a puncto verticali colligit omnes diversitates aspectus quatuor terminorum nihil prorsus ad zodiacum spectando. Atqui reclamabis potestatem diffiniendi terminos penes arbitrium scriptoros fore; Esto in voluntate scriptors primarii: non tamen idcirco hanc sibi licentiam usurpare potet expositor nisi novos quosdam ad expositionem necessarios diffinire cogatur terminos. Ceterum per hanc diffinitionem luna extra eclipticam ubilibet posita \ supra orizontem / nullam \ prorsus / habebit diversitatem aspectus preterquam in puncto duos ecliptice quadrantes supernos secernente, id est in fine nonegesime gradibus ab ascendente siquando illuc pervenerit. Illic enim \ aut nullam habebit / diversitatem aspectus \ aut aliquam sed omnino alienam ab ea quam Ptolemeus pronunciaret neque cum ea quantulumcumque convincantem; aut convincantem quidem sed portiunculam eius. Et quam tu dices diversitatem aspectus ea erit latitudo lune visa non diversitas aspectus. / Folio 80v [Back to Top] view facsimile [Diagram] Primum horum sic ostendemus, descripta portione circuli verticalis AB in qua sit E quidem verus, O autem apparens lune locus exprimatur etiam pars ecliptice CD cui occurrant duo quadrantes PV et PN á polo ecliptice P er duo loca lune producti \ sitque A polus orizontis extra circulum PV, quod semper accidit vero loco lune nonagesimum ab ascendente gradum non occupante /. Erit itaque V punctus zodiaci hoc est sectionis ubi luminare st per computationem in puncto autem O per aspectum cernitur; est autem V punctus necessario extra arcum AB, cum duo circuli AB et PV diversi sunt in presenti casu; quare nullus erit arcus circuli verticalis per centrum lune euntis, id est circuli AB interiectus inter punctum zodiaci hoc est sectionsi ubi luminare est per computationem et punctum circuli per verticem ubi est per aspectum; assumo verba expositoris ne aliquid alieni a diffinitione sua suggestum esse causetur, et ideo nulla erit diversitas aspectus lune, quod falsum et inopinabile est, ne dicam impossibile. Reliqua duo simul ostendemus [Diagram] si prius eclipticam intelliges CD; circuli autem PAV per polos ecliptice quorum alter scilicet sublimus P esto, per A punctum verticalem, id est polum orizontis supremum et per E verum lune locum atque idcirco per centrum lune productum accipies, ecliptice occurrentium in V puncto. In quo quidem circulo quoniam et verticalis est, locus lune apparens primo in ecliptica ponatur, quoniam ita potest accidere et sit V. Cum itaque luminare in V puncto sectionis habetur per computationem; est autem et illic locus eius per aspectum; nulla igitur ex diffinitione habebit aspectus diversitatem, Ptolemeus vero pronunctiat diversitatem aspctus EV. Iam denique ceteris manentibus locus apparens sit \ citra eclipticam / in O; erit itaque \ per diffinitionem huius / ne totiens deliramenta hominis repetantur, diversitas aspectus OV nihil commune habens cum diversitate aspectus EO quam Ptolemeus tradit preter punctum O. Sit rursus locus lune visus ultra eclipticam in X puncto, dices igitur arcum VX esse diversitatem aspectus, sed (?) á Ptolemeo accipimus diversitatem aspectus EX cuius VX particula est, et ceterum uterque arcuum OV et VX in postremis duobus casibus latitudinem lune visam sive apparentem representat; tantus enim utrumque \ per aspectum / est secessus lune ab ecliptica unde latitudines emetiuntur \ [44]Hec sua quidem / Folio 81r [Back to Top] view facsimile Hec sua quidem expositor de diversitate aspectus in altitudine turpiter effudit; nostra autem in diffinitionem \ eius / ridiculam dicta impresentiarum satis sunt. Nunc ad diversitatem latitudinis transeundum quam verborum insana [Diagram] quadam vertigine adeo interturbat ut ne ipse quidem sese loquentem intellexisse videatur et C si quid utique dixisse voluerit, videte, queso, benigni ac docti iudices, quonam evaserit. et ut facilior fiat processus ponatur \ verus / locus lunaris E in ipsa ecliptica C, per quem incedat circulus verticalis AB in quo sit apparens eius locus O, deinde per puncta E et O describantur duo circuli ad eclipticam orthogonales, id est per polos eius incedentes qui sunt PE et PE. Iam si diffinitio constat, concludetur \ inferimus [45] / arcum ecliptice EN esse diversitatem aspectus in latitudine qui profecto est diversitas longitudinis \ et / non latitudinis. Is enim est arcus circuli \ CD / Descripti per punctum orbis signorum \ E / ubi est luminare secundum computationem secantis orthogonaliter circulum PO qui describitur per O punctum ubi lluminare est in circulo per verticem secundum aspectum et per polos zodiaci P, scilicet et ei diametraliter oppositum, qui arcus est inter dictum orbis signorum punctum E et punctum N ubi secatur dictus circulus orthogonaliter. Quare manifestissime concluditur per locum á diffinitione arcum \ ecliptice / EN esse diversitatem aspectus in latitudine propositi luminaris, quod quam absurdum sit et \ semper / impossibile fit unico casu excepto quando \ scilicet / ecliptica per polos orizontis describitur ne discipuli quidem artis nostre ignorant. In eo nanque quem diximus solo casu diversitas aspectus in latitudine potest esse portio ecliptice et alias numquam huic igitur scopulo illisus est expositorculus noster pro sua diffinitiuncula scabra commentaria inqua et penitus eversa; unde si evelli cupiet ad elementa astronomica refugiat necesse est. Quod autem talis fuerit mens eius imo potius dementia, vel ex sequenti diffinitione diversitatis aspectus in longitudine liquet. Diversitas vero inquit aspectus in longitudine est arcus circuli per medium signorum inter punctum luminaris per computationem et punctum ubi secatur zodiacus a secante orthogonaliter arcum diversitatis latitudinis. In prescripta Folio 81v [Back to Top] view facsimile igitur figura \ dicit et verum est / arcum EN esse diversitatem aspectus in longitudine cum autem alterum eius terminum dicat esse punctum luminaris per computationem, id est punctum E; alterum autem alterum autem punctum ubi secatur á secante orthogonaliter arcum latitudinis; secatur autem zodiacus in puncto N á circulo PNO; is ergo insinuatur esse circulus secans orthogonaliter arcum EN qua eclipticam ipsam orthogonaliter secat; elicitur de opinione sua ne dicam mente fuisse quod arcus EN sit diversitatis aspectus in latitudine. Itaque hec diffinitio diversitatis longitudinalis quoniam ad precedentem refertur inepta et auctoris sui similis comprobatur. Nam de scabra eius et intricata dictione nihil agimus ne grammaticum aut oratorem potius quam mathematicum impugnare videamur; quamvis ad tam irretitas verborum colluviones etiam edipode aliquo opus esset qui sectiones eius te perperam ingeminatas qualitercumque expediret. Nunc quo abundius ignorantia hominis clareat et quemadmodum suo se gladio iugulet, audire libeat nugatorem futilem et nihil preter fedissimas evomentem ineptias. "Que, inquit, ut melius intelligantur quamvis non possunt in plano circuli globorum describi, tamen quoniam non nihil intelligentie hinc capita in hac figura explanabimus, Sir meridianus ab in quo pcuntum verticis sit A; circulus autem per verticem et punctum lune transiens sit AEL; zodiacus sit GF, circulus transiens per lineam et polos zodiaci sit FHL et circulus secans istum orthogonaliter transiens per centrum lune sit HEB; luna in hac figura supponitur esse in puncto E circuli per medium; sic enim et circulus qui per verticem est et circulus qui orthogonaliter secat descriptum per polos orbis sgnorum per eam transibit; luna ergo ponatur in puncto E secundum computationem sed per aspectum in puncto F. Diversitas ergo in circulo qui est per verticem de qua hucusque locuti sumus est arcus HF; latitudinis autem diversitas est BE; arcus vero EF est diversitatis aspectus in longitudine [Diagram] perspecte igitur latitudinis arcus HE est sed EF etiam latitudinis dicitur. Capitur enim á puncto lune secundum computationem ad aliud punctum maioris minoris ve latitudinis si aliqua per computationem latitudo inveniretur; sed media etiam vocatur inter latitudinem et longitudinem quoniam quamvis rectius ad" Folio 82r [Back to Top] view facsimile "latitudinem tendat tamen etiam longitudini aliquid addit." Hec illa portenta verborum, has spurcissimas et detestabiles effutias provomit quas cum ne ipse quidem intellexerit lectoribus tamen declarationis gratia afferre conatur. Ita plerumque nebulas suas intexere solet ut profecto mentem eius quid dixi mentem? Dementiam potius summam vaticinio quoadam explorari oporteat. Et siquidem veritati consona essent enunciamenta sua quamvis per ambages et verborum involucra edocentur, id scabre saltem \ posset / lingue; nunc vero quoniam neque sermo sibi constat neque ad rem facit qui de tam importuno commentere sentiam non habeo nisi quod aut ignorantissimus omnium aut interscribendum mente captus fuerit vel saltem delirus. Ignorantiam tamen potius obtitisse arbitror quo minus rem ceptam ita ut equum erat lucubraret, quod et ipse subsensisse videtur cum inito declaratiuncule sue excusari cupiens imperitie sue velamentum queritat ex globis in plano describi negantibus. Ima vero advertendum quam pulcre doceat per figuram suam in cuius \ etiam / descriptione \ a seipso / discrepat. Lunam enim ponit in E puncto circuli per medium, id est ecliptice circulum autem FHL preter punctum E disponit quamvis enim per polos zodiaci et lunam transire insinuet; quem si per E punctum uti volebat describeret non posset effugere quin confiteretur diversitatem aspectus in latitudine esse portionem quandam circuli per medium sicuti supra conclusimus; ut igitur circulus FHH alium quemdam preter circulum per medium sua quidem opinione secare posset orthogonaliter, me in scrobem prius effossam incideret, ipsum circulum FHL preter punctum imprudens statuit. Quid rursus homo ille blatterat? Circulum HEB per centrum lune transeuntem ponit \ qui / orthogonaliter secet circulum FHL per polos ecliptice prius scriptum: quasi alius preter eum qui per medium signorum \ et punctum E / scribitur orthogonaliter in circulum FHL dici possit; quod certe \ aut / est impossibile aut diversitas aspectus lune in longitudine totum circuli quadrantem \ id est 90 gradus / complectetur. SI enim arcus HEB orthogonaliter incidit in arcum FHL necesse est duos polos circuli FHL in circulo Folio 82v [Back to Top] view facsimile HEB reperiri per Theodosii. Cum autem et ecliptica secet eundem circulum FHL orthogonaliter, hec enim orthogonalis sectio reciproca est duo quoque poli circuli FHL in ipsa ecliptica necessario constituentur. Uterque igitur circulorum HEB et GEF, id est ecliptica, polos circuli FHL complectitur. Sed illi duo circuli in duobus \ enim / punctus se secant (de circumferentiis eorum loquor) puncta igitur sectionum erunt poli circuli FHL quoeum quidem punctorum alterum est E, quare E erit polus circuli FH et ideo per \ 3-letter blank / Theodosii uterque arcuum EF et EH erit quarta circuli. Est autem arcus EF diversitas aspectus in longitudine quod et homo ille confitetur. Diversitas itaque aspectus in longitudine quartam circuli complectitur et illud quidem semper accidet ubi cumque luna constituetur, modo in ecliptica sit et extra nonagesimum ab ascendente. Si autem illud tanquam impossibile arbitraris, impossibile quoque esse oportet autecedens und hoc illatum est, scilicet alium circulum \ per E transeuntem / preter eum qui per medium signorum orthogonalem secare circulum FHL. Sed enque subterfugere poteris reclamando aliquos dictorum circulorum esse minores, non maiores de quibus Theodosius loquitur. Quoniam minores illi circuli nihil ad hoc propositum faciunt, ita scilicet quod in eis aliqua trium diversitatum aspectus animadverti soleat. Tanta autem est hominis dementia ut no atis videatur semel in hun cerrorem incidisse quoniam repetit, sstatuendo luna in E secundum computationem sic enim inquit et circulus qui per verticem est et circulus qui orthogonaliter secat descriptum per polos orbis signorum per eam transibit, huic quoque evestigio in aliud labitur inconveniens, "luna ergo inquit, ponatur in puncto E secundum computationem sed per aspectum in puncto F quasi GEF sit circulus verticalis, quem tamen pro ecliptica constituit; locus enim lune apparens per aspectum semper est in circulo vertricali qui per centrum lune describitur." [46] Iam deinceps continue error alius alium gignit. "Diversitas, [47] ergo, inquit, "in circulo qui \ est / per verticem de qua hucusque locuti sumus est arcus HF. Siccine, bone vir, circulum FHL insinuas esse verticalem qui antehac scribebatur per polos zodiaci; circulus autem verticalis presenti negotio accommodandus erat AED. Subdit latitudinis autem est HE; hec diversitas HE nulla est Folio 83r [Back to Top] view facsimile quoniam nullus est circulus per E incedens qui orthogonaliter secet circulum FHL per polos ecliptice lineatum, preter circulum qui est per medium signorum, in quo quidem diversitas latitudinis numquam reperitur uno casu excepto quem supra diximus. Item prospecte igitur, inquit, latitudinis arcus HE est;perspectam latitudinem ut arbitror apparentem aut visam dicit latitudinem. Ea autem non potest esse arcus HE quoniam circulus ille conditione sua describi nequit qui etsi orthogonaliter secare posset circulum FHL per polos ecliptice productum, non tamen in eo latitudo lune apparens rite acciperetur. Latitudo enim qualiscumque in circulo qui \ scribitur / per polos eius unde ipsa latitudo computatur animadverti solet. Restant adhuc quedam intricata et sterilia verba commenti superius excerpti; in quibus nihil nisi stoliditas hominis loquaculi relucet qui ut aliquid de diversitatibus aspectuum sibi omnino incognitis disserere videretur maliut per vaniloquentiam ruditatis sue facere iudicium quin per modestiam taciturnitatem áb erroribus immunus\ cavere / esse \ abstruere /. Dignum ergo quamvis perexiguum \ et commeritis suis impar / de eo superserunt supplicium quicumque iniuste aliquando \ per eum / lacessiti sunt. Nescio enim [Diagram] quo torniti \ correctionis / genere homo tam nefarius satis digne possit ultisci \ [48] Lucidari / quandoquidem ne auctori quidem Ptolemeo peperit quem exponere agressus est. Nempe in hoc eodem vigesimo capitulo circa textum ubi Hipparchus primum emendatur figuram Ptolemei perverse expressit scilicet ut malignus quispiam occasionem lacerandi auctoris habeat. Qualem namque hic vides figuram littere accommodare ausus est in qua etsi arcum quidem AG pro elciptica arcum autem AH pro declivi circulo lune sumpserit, diversitatem tamen aspectus totam id est in altitudine ponit arcum DI partem scilicet declivis circuli lunares que utique in circulo verticali ED exporrecto debebat perpendi quandoquidem centrum globi lunaris in D puncto statuitu; hoc itaque unum est quod indignationem meam ex aliorum iniuriis partam aliquantisper levat, ut dum hominis \ Hic expone figuram debitam ne quis erroris Ptolemei id accidisse suspicatur / Folio 83v [Back to Top] view facsimile ignari sive imprudentiam sive qualemcum insolentiam in eum etiam virum exerceri videam, qui summis honoribus ingentique gratitudine debet affici, quemque nugator ille exponere conatus est: nihil mirum arbitrari possim si alios Ptolemeo ipso vel iuniores vel inferiores incessere ausit, quod quidem iuste ne an iniuria fecerit rationes nostre satis docuerunt. Quas deinceps quoque evitare non poterit nisi prorsus insanum se confiteatur interscribendum fuisse; hac enim unica purgatione causam suam tueri poterit. Nam qui in primis oberrat rudimentis quid speres ex eo dotrine ubi ad res paulo difficiliores ventum fuerit? Quam puerili \ enim / se ludibrio exponat commentator ille verba sua inferius producta declarabunt. "Verum, inquit, in situ quo punctum verticis in zodiaco est, quod sub equinoctiali semper in primo climate bis in secundo semel in anno accidit, quoniam circulus per verticem ad unguem tunc vicitur zodiaco circulo qui per medium signorum est; idcirco etc." Dicit punctum verticalem habitantium sub equinoctiali semper esse in circulo \ qui / per medium \ signorum est /, quod tamen non nisi bis quolibet die naturale accidere potest quando scilicet duo puncta que ipsi per ecliptice et equinoctiali communia sunt, id est principia Arietis et Libre supra verticem et cum polo orizontis superno concedunt. In primo autem climate dicit illud bis in anno uno accidere quod profecto quolibet naturali die bis evenire solet. Cum enim illic latitudo habitationis sit minor maxima solari obliquatione necesse est eam tanquam declinationem duobus ecliptice punctus accommodari. Quando igitur alterum talium punctorum ecliptice \ ad meridianum perducitur declinatio tali puncti et latitudo habitationis coincidunt unde et puncta earum terminalia, id est verticale punctum et punctum ecliptice quo in meridiano /. Hoc autem quolibet naturali diebus accidit quandoquidem duo sunt talia puncta quorum utrumque in die naturali parallelum suum totum excurrit \ atque idcirco ad meridianum supernum semel pervenit /. In secundum autem climate cuius latitudo maximam equat solis obliquationem id semel evenire quolibet die naturali manifestum est quando scilicet caput Cancri in meridiano constituitur; cum enim eius obliquatio sit equalis latitudini regionis, necesse est ipsum Cancri principium \ quod in ecliptica est /, tamen puncto verticali coincidere quamobrem et punctus verticalis Folio 84r [Back to Top] view facsimile tunc in ecliptica reperitur. Itaque homo ille sub equinoctiali circulo á veritate per augmentum mendacii recessit; in aliis autem duobus locis per defectum Causa autem erroris tam manifesti fuit quod ex ludo astronomico somniavit; illic quidem punctum vere talem semper esse in equinoctiali circulo hic autem ide est in primo climate solem bis in anno supra verticem constitui et in secundo climate semel dumtaxat verum ille; terra cum a pueris etiam animadverti possit breviuscula dictione ostensus est. Nunc ad alium paulo abstrusiorem verniamus. Ptolemeus postquam ostendit distantiam lune a puncto verticali non esse eandem cum distantia veri loci sui in ecliptica ab eodem verticali puncto quando luna ipsa latitudinem habet. Earum autem distantiarum excessum non posse maiorem esse quinque gradibus maxime lunaris latitudinis declarare deinceps voluit si quinque tales gradus in distantia lune a vertice \ aliquando / preterirentur quantam a iusta diversitate aspectus que per distantiam scilicet lunarem a vertice sumitur aberrari contingeret, querendus igitur fuit locus in circulo verticali ubi quinque gradus plurimum differentie redderent in diversitate aspectus; quem quidem situm Ptolemeus insinuerit esse apud ipsum punctum verticale cum dixit: "Nam quinque maxime differentie artium gradus tot \ id est decem / diversitatis aspectuum sexagesimas in maximis excessibus et minimis distantiis faciunt. In maximis, inquit, excessibus diversitatum aspectus et in minimis distantiis id est luna \ quidem / longitudinem propiorem epicycli, ipso autem epicyclo longitudinem propiorem ecentrici possidente." Quo igitur pacto hec Ptolemei insinuatio roborari posset ab hoc hominem exponendum fuit. Ille vero pro sua tergiversatione quas nebulas intulerit ut aliquid saltem dixisse videretur iam potestis audire. "In hoc situ, inquit, maximi excessus qui universaliter fiunt in minimis distantiis quando luna est in minima longitudine ac distantia epicycli et epicyclus in minima eccentrici sunt sexagesimarum 10′ proxime, quod patet ex tabula; quinque enim gradus arcuum habent in ordine quinto 0 7′ 30″ et in sexto 0 2′ 5″ que simul sunt 9′ 35″, quibus parum quid additur ex multiplicatione propter angulum; hoc ideo fit quia quinto propinquior est luna ad verticem tanto minus variatur aspectis; est autem tanto propinquior quinto" Folio 84v [Back to Top] view facsimile "maioris est latitudinis." Hec ille. Dicta si vera sunt quod scilicet maximi excessus universaliter sunt in minimis distantiis, sequitur ipsas differentias diversitatem de quibus hic agitur semper equales esse, quantumcumque luna á verticali puncto removeatur dummodo eadem minima lune distantia servetur, sed nam epicyclum et ecentricum; hoc enim est maximos tales excessus universaliter, id est ad omnem situm respectu ad omnem situm respectu verticalis puncti fieri in minimis distantiis lune, quod quam á veritate alienum sit, inferius demonstrabitur. Ceterum cum diversitas aspectis quinque gradibus debita \ in minima lunari distantia / non plene atingit 10 sexagesimas sed sit 9′ 35″ dicit residuum suppleri ex multiplicatione propter angulum qui magnitudinem huiuscemodi diversitatis quantitas anguli cuiuspiam augere possit. Constat autem angulos qui circa diversitates aspectuum exercentur haudquaquam spectare diversitate aspectus primariam que scilicet in circulo verticali animadvertitur quippe que ex remotione lunari á centro mundi et puncto verticali suam acquirit quantitatem sive in ecliptica sive extra eam luna reperitur. Anguli namque tales diversitati aspetis in longitudine et latitudine dumtaxat accommodari solent. Porro dum ratione\ quadam / dicta sua fultire conatur hoc ideo fieri inquit quia quanto propinquior est luna ad verticem tanto minus variatur aspectus. Illud quidem verum est sed cum hic de excessibus diversitatum agatur \ et non precipue de ipsis diversitatibus / sitque demonstrandum eos \ excessus / tanto maiores esse quanto plus ad verticem acceditur, non dum liquet quomodo diversitatibus ipsis ad verticem decrescentibus, excessus continue maiores fiant. Sed et hanc suam frivolam rationem reddit suspectam cum statim subiungit est autem, inquit, tanto propinquior quanto maioris est latitudinis. Illud enim manifeste falsum est luna habente latitudinem meridianam; tunc enim tanto remotior est á vertice quanto maioris est latitudinis; quamobrem crementum latitudinis lunaris pro causa huius accidentis allegari minime potest cum apud verticem utraque latitudo Folio 85r [Back to Top] view facsimile tam borealis quam austrina lune accidere possit. Nunc demum ne perpetua et inscissima expositoris reprehenso lectoribus tedium pariat si nihil preter \ continuas / eius ineptias adnotaverem, quod supra pollicebar de excessibus diversitatum tanto maioribus quantis ad verticem propinquioribus \ ostendendum est / ut nova et perpulcra huius rei demonstratione animus á continua deliramentorum auditione paulisper requiescat et simul Ptolemei insinuata [Diagram] sententia roboretur Describatur itaque circulus ABDE super centro mundi F secundum distantiam stelle ab eodem centro mundano, in quo centrum oculi ponatur G ita ut linea FG excurrens offendat in eo circulo punctum verticale A sumanturque \ equales duo / arcus BC et DE BC quidem vicinior ad punctum verticale dictisque quaternis lineis a duobus punctis F et G ad quatuor angulorum cuspides in quatuor punctis arcuum terminalibus figantur, constat ex iis que superius circa initium quanti voluminis exposuimus penes unumquemque angulorum predictorum accipi diversitatem aspectus illic accidentem angulos autem huiuscemodi et idcirco ipsis diversitates aspectuum eo maioris fieri quo magis á puncto verticali stella removetur donec ad orizontem perspectuum venitur. Si itaque demonstrabimus excessum duorum angulorum FCG et FBG maiorem esse excessu duorum FEG et FDG mox quoque de excessibus diversitatum idem enunciari licebit. Dico igitur excessum duorum angulorum C et B maiorem esse excessu duorum E et D. Quod sic demonstrabitur A puncto G preter centrum circuli ABDE sumpto ducte sunt quoatuor linee GB, GC, GD et GE ad terminos duorum arcuum equalium BC et DE, quorum alter, id est BC vicinior est puncto extra centrum capto quod due recte sibi incidentes sint bre- Folio 85v [Back to Top] view facsimile viores duabus que ad arcum DE producuntur que ad arcum DE producuntur; quare per primum sumptum quod circa lineam medii motus solaris disserentes constituimus, \ [49]vide si primum sit an secundi poni oporteat / erit angulus BGC maior angulo DGE et ideo excessus anguli BGC ad angulum KFC maior est quam excessus anguli DGE ad eundem BFC; est autem angulus BFC equalis anguo DFE per ultimam sexti quando quidem duo arcus BC et DE sunt equales; quocirca excessus anguli BCG ad angulum BFC maior est excessu anguli DGE ad angulum DFE. Signatis denique duarum sectionum punctis O et R per 15 et 32 primi Elementorum duo anguli B et G trianguli BGO erunt equales duobus angulis C et F trianguli COF; quare per principium si an equalibus inequalia detrahantur, excessus detractorum et relictorum reciproce sumptos equales esse, constabit excessum quo angulus \ BGO, id est BGC / superat angulum CFO id CFB equalem esse excessui duo angulorum C et B. Per eadem quoque media declarabitur excessum quo angulus DGE superat angulum DFE equalem esse ecessui duorum angulorum E et D. Sed erat excessus duorum angulorum BGC et BFC maior excessu duorum DGE et DFE: quare excessus duorum angulorum C et B maior est excessu duorum E et D, quod erat demonstrandum. Ne autem ambiguum videatur angulum BGC superare angulum BFC, item que angulum DGE maiorem esse angulo DFE, illuc recurrendum est und et reliqua mutuati sumus. Cum enim angulus C sit maior angulo B, per principium superius adductum erit angulus quoque BGC maior angulo BFC. Neque aliter de duobus angulis DGE et DFE ratiocinandum est huic tandem ut supra adnotavimus concluditur excessus diversitatum eo maiores fieri quo vicinior ad verticem stella fuerit ac demum elicitur \ maximos / excessus talium diversitatum non universaliter fieri in minimis distantiis \ secundum epicyclum et eccentricum sumptis / quemadmodum frivolus ille enunciabat, sed in minimis distantiis tam a centro mundi, id est secundum epicyclum ete eccentricum quam a vertice capitis. Unde et Ptolemeus accepit diversitatem quinque gradibus adiacentem non quatenus ipsi quinque gradus unam distantiam a vertice representant sed quatenus sunt differentia duorum ut ita loquar distantiarum a vertice quarum una est 5 graduum, altera autem indivisiblis; sic enim loqui cogimur Folio 86r [Back to Top] view facsimile impresentiarum aliquid ad nihil improprie conferentes quo mentem auctoris clarius interpretemur Quod quidem ab hoc homine expectandum erat qui expositoris nomine inique sibi usurpavit, rectius profecto intertricator quam interpretator agnominandus quippe qui omnem Ptolemei doctrinam adeo interturbat ut nisi ignorantia hominis esset manifestissima putares omnia per summam detractionem aut eversionem dicta esse. Et quod turpissimum est errores suos non numuam repetere solet quasi non satis sit semel peccasse; quin potius in obscena sua dicacitate tantum delectatur ut relabi in pristina deliramenta non erusbescat dummodo per insinuationem quandam eos quamvis falso calumnietur qui opiniones suas iuste condemnaverunt. Sed audiamus verba eius circa finem presentis capituli effusa: "Illud etiam, inquit, sciendum demonstrationis viam qua nos usi sumus ad delcarandum ipsum per extremitates triangulorum angulos et intrinsecos non esse tutam in triangulis sphericis quoniam ut super secundum diximus sphericus triangulus non habet determinatam vim in hoc: sed tres sui anguli modo duobus modo pluribus paucioribus rectis sunt equales sed auctoritate ipsius freti fermius qui hoc quasi in rectis lineis demonstrari posse modo propter situm modo brevitatem arcuum asseruit; parvitas enim arcuum facit ut indifferentes a rectis lineis sunt, quod res quoque ipsa ostendit: iidem enim numeri fiunt si circulos quasi rectilineis triangulis circumferis, iidem si a datis anguli et arcubus addendo ac partiendo ut ipse facere solet ignota inquinas a notis. Ex quibus omnibus confirmatur recte ipsum rectis uti lineis pro arcubus non numquam non quia non potuisset in arcubus ipsis demonstrare sed quoniam differentia insensibilis si neque accumulatur minutarum rerum ac inutilium curiosam inquisitionem ostentationem esse indicabat; hic primum autumat" Folio 86v [Back to Top] view facsimile \ In triangulis sphericalibus equalitas ternorum angulorum equalitatem ternorum laterum infert si in eadem sphera sumantur; quod non accidit in planis. Hoc adde / triangulum sphericum quandoque habere tres angulos modo duobus modo pluribus modo paucioribus rectis equale: quasi recti anguli duobus pauciores esse possunt id est numerus aiquis inferior binario. Sed illud leve putamus; esto enim quod dicere voluerit trianguli spherici tres angulos quinque a duobus rectis superari. Iam in errorem intolerabilem labitur. Numquam enim tales tres anguli duos rectos equare aut eisdem minores esse possunt. Sed semper necessario vincunt duos rectos quemadmodum illic ostendimus ubi nugator in hunc errorem primo incidit. Et hic rursus per alia media demonstrabimus non quod necesse sit tam manifestum errorem instauratis rationibus damnare sed quoniam ad sequentia quoque expositoris deliramenta ex…denda multum conducte hoc presens theorema. Sit triangulus sphericus ABG quicumque ex arcubus maximorum constans circulorum. Dico tres angulos eius maiores esse duobus rectis. Et si sua cuique arcui corda [Diagram] subtensa fuerit. Dico quemlibet angulus spheralem maiorem esse angulo plano \ sub coniuncto / duabusque cordis contento; verbi gratia in figura presenti angulum BAC spheralem duobus scilicet arcubus contentum esse maiorem angulo BAC plano duabus cordis BA et AC contento. Sic brevitatis causa enunciare decrevimus. Tu vero benigno animo accipias non quidem angulum spheralem maiorem esse plano cum non sint de eodem genere angulorum quippe quorum latera sibi nequaquam superponi excopatari possunt verum sic intellige quod arcus determinans magnitudinem anguli spheralis maior sit arcu determinante quantitatem anguli plani si ex eodem aut equalibus circulis accepti fuerint. Que hoc pacto demonstrabimus: Super A puncto tanquam polo secundum distantiam quantamlibet minorem utraque cordarum AB et AC describitur in sphera circulus cuius arcus \ EF / inter latera trianguli AB et AC comprehendatur. Sitque sectio sectio AD quam per Theodosii constat esse diametrum sphere et per eiusdem transire per [Diagram] centrum circuli EF quandoquidem per polos eius incedit. Unde et per centrum eiusdem circuli EF ducta est; quod quidem centrum sit G, á quo duo puncta E et F educantur due semidiametri GE et GF Linea igitur GE \ Est et alius modus demonstrandi omnem spheralem triangulum habere tres angulos maiores [Diagram] duobus rectis Sicut in sphera omnes equilateri trainguli sunt equianguli, ita et omnes equianguli sunt equilateri / Folio 87r [Back to Top] view facsimile secabit cordam AB; cum enim G punctus sit in AD diametro circuli AB, punctus autem E in circumferentia eius, necesse est toam lineam GE esse in planitie circuli AB. Punctus autem E est in arcu portionis circularis AB et G extra eam portionem. Quare GE secat cordam AB quod quidem sit in H puncto. Non aliter ostendetur GF lineam secare cordam AC in puncto qui sit K. Illis sectionum punctis per lineam HK continuatis, ubi demonstratum fuerit angulum HGK maiorem esse angulo HAK, ad portum secure navigabimus. Quod ut expeditius absolvatur excipiamus duos triangulos AHK et GHK ea cum habitudine cunctos uti erant intra spheram, ita scilicet ut suppositor prius triangulo GHK perpendicularis in aerem que sit equalis ipsi GA intra spheram posite et eiusdem notis inscripta; deinde punctum a sublime duobus punctis H et K per duas rectas copuletur; quas quidem penultima primi et diffinitionem linee perpendicularis in superficiem, equales esse oportet duabus rectis AH et AK. Rursus a puncto G ab basim HK trianguli HGK ducatur perpendicularis GL duoque puncta L et A per rectam AL continentur. Cum itaque per penultimam primi quadratum linee GH equipolleat duobus quadratis linearum Gl et LH, adiecto utrobique corum quadrato linee AG, necesse erit duo quadrata linaeum GH et GA, id est quadratum AH equari tribus quadratis linearum GA, Gl, et LH, id est duobus quadratis linearum AL et LH: omnes \ enim / illi anguli AGH et AGL et GLH recti sunt. Unde et per ultimam primi angulus ALH rectus esse comprobabitur. Est autem \ per 18 primi / HG latus trianguli AGH brevius latere AH rectum subtendente angulum. Quare per actavam quinti maior est proportio LH ad HG quam eiusdem LH ad lineam HA; et ideo per smptm traingulorum rectorum quod circa initium tertii introduximus angulus HGL maior erit angulo HAL. Per eadem penitus media constabit angulum quoque KGL maiorem esse angulo KAL unde et per principium totus angulus HGK maior habebitur toto angulo HAK. Iam redeamus ad figuram priorem in qua angulum HGK id est EGF liquet esse maiorem angulo HAK, id est BAC. Angulus autem EGF cum sit in centro circuli EF per arcum EF determinatur. Folio 87v [Back to Top] view facsimile qui arcus angulus quoque spheralem EAF determinat quandoquidem cuspis anguli A est polus circuli EF; hoc autem obscurum et incertum videri non debet cum fit sicut arcus EF ad \ quadrantem circumferentie totius / sicut angulus EAF ad \ unum rectum / ac demum sicut arcus EF ad totam suam circumferentia sicut angulus spheralis EAF ad quatuor rectos. Hec quidem ita in spheralibus per habitudines equimultiplicium roborantur sicuti ultima sexti de planis demonsnratur. Quamobrem angulus spheralis EAF, id est BAC, maior est angulo HAK, id est BAC, plano ad intellectum sperius expositum. Similiter per omnia concludetur uterque reliquorum angulorum speralium B et C maior angulo plano sibi coniuncto. Sunt trianguli ABC plani tres arcus determinatores talium angulorum centralium si coniuncti fuerint semicircumferentiam complebunt. Trest autem spherales maiores sunt illis tribus planis suo quisque coniungato, id est unicuiusque eorum determinator arcus superat arcum determinatorem anguli plani sibi coniungati si ex circulis sumatur equalibus quas tres illi arcus determinatores trium angulorum spheralium si coniungantur semicircumferentiam circuli superabit. Penes semicircumferentiam autem magnitudo duorum rectorum accipitur. Trest ergo illos spherales angulos necesse est esse maiores duobus rectis quod erat demonstrandum. habes igitur aliter quam shperius demonstratum cuiuslibet trianguli spherali tres angulos esse maiores duobus rectis cui tu temere \ licet superius / \ [50] Jacobus Cremonensis / contradixisti magis ut Jacobum Cremonensem mathematicum insignem lacesseres quam ut iuventutem astronomie studiosam erudires quod vel ex hoc apparere potest quam Gebrum hispalensem virum peracutum quotiens occasiuncula dari videtur inique accusas cuius quamvis barbari ut aiunt si monumnta accepisses multos errores tos declinare potuisses, sed dum stolido \ tibi / non sapit illa seges obruere velles virum argutum inani verborum colluvione quam hic excripsi non quidem dignam que membrane impingatur sed tanquam consciam ignorantie tue. "Miror autem, inquis, quod Geber peculanter ut cetera id" Folio 88r [Back to Top] view facsimile "etiam carpserit presertim cum ipse non ignorantia sed consilio propter indifferentiam fecisse id scripserit; quod eius dico Ptolemei consilium inde quoque corroboratur quod possumus arcubus his cordas accommodare eet extrinsecos atque intrinsecos rectilinearum triangulorum angulos investigare et inventos numeros cum numeris circularium angulorum conferre atque hinc etiam perspicere indifferentiam alterius vie ad alteram." Cur queso Gebrum petulantie accusas pro eo quod argutius rem illam quam Ptolemeus tractavit? Nonne exemplo ipsius \ quoque / Ptolemei id facere licuit? Quippe qui Hipparchum a se plerum laudatum et instar preceptoris habitum in presenti arcum et angulorum investigatione emendavit. Forsitan non meministi Ptolemeum hortari posteros ut maiorum intentiones non solum emendent sed etiam quoad fieri potest \ sedulo / amplient. Tu vero cum et virum magnifacere et doctrinam \ eius / capessere debeas, quia forte doctrina sua turbulentum fugit cerebellum tuum, tu ut vices reddas quamvis inique auctorem calumniari pergis. Sed redeamus ad rem ipsam. Nolim autem in primis hanc de me suspiciuncula cuivis irrepere quod aliquid quantulumcumque contra summam Ptolemei modestiam, prudentiam atque doctrinam opponere ausim, non enim u ita me deus amet, hoc scribendo munus assumpsi ut viro optime merito detrahere sed ut veritatem hostibus suis perotritis emergere faciam. Iam dic, bone vir, quomodo potes per subensionem cordarum Ptolemei modum roborare? Qui numquam servare potes angulum rectum in triangulo plano tribus cordis clauso siquando rectius fuerit propositus in spherali triangulo, planus enim trius necessario quemadmodum demonstravimus minor est recto spherali ad sensum supradictum. Talem autem angulum semper servare et quidem, bene studet Ptolemeus ut redactis arcubus in rectas lineas alter acutorum angulorum notus alterum quoque cognosci faciat trigemisma secunda primi interveniente. eorum spheralium maior erit angulo suo compare plano quem tu pro spherali exercendum censes. Unde etiam hoc elicitur quod datis tribus lateribus trianguli spherali et exinde cordis suis triangulum planum claudentibus; si per notitiam huiuscemodi trium Folio 88v [Back to Top] view facsimile laterum trianguli plani invenire velis aliquem eius angulorum invenienda prius sit perpendicularis \ ad / eum angulum spectans ut ex ad eius collatione ad latius trianguli sibi conterminale angulus inveniatur. Verum quantus non since labore tali elicitur perpendicularis in triangulis rectilineis sed per multiplicationes \ crebras / ac divisiones radicumque extractiones; quos calculos prius quam absolves, decies et sepius \ Geber / inveniet magnitudinem anguli quesiti et quidem exactissime per artem triangulorum spheralium . Tu vero per longum et inanem tuum laborem vix angulum planum assequeris qui quoniam minor est spherali sibi iuncto quem queries nondum quamvis defatigatus sis veritatem attigisti. Quodsi mediam quandam ingredi viam decreveris servando scilicet \ duos / angulos trianguli spherali rectum et alterum acutorum (in iis enim de quibus hic agitur triangulus acutum semper reperiri aliquem necesse est cum semper aliquod trium laterum sit minus quadrante circuli). Verbi gratia si propositus fuerit triangulus spheralis [Diagram] ABC angulum C quidem rectum, B autem acutum et datum habens et latuis AB datum, velisque investigare arcum AC et deinde arcum suum AC: ne hac quidem via ad veritatem perduceris. Quod sic ostendam: ponatur enim angulus DEF planus equalis angulo AB spherali ad sensum sepe dictum: linea aut DE equalis corde AB, clausoque triangulo rectangulo per lineam DF perpendiculariter ad EF descendentem [Diagram] que quidem DF si non fierit equalis corde AC quam queris constabit hanc etiam viam esse fallacem. Illud autem sic ostendetur. In triangulo spherali sinus \ rectus / anguli ACB recti ad sinum \ rectum / anguli ABC se habet sicut sinus arcus BA ad suum arcum AC, itemque in triangulo rectilineo DEF sinus anguli F recti ad sinum anguli E acuti est sicut linea ED ad lineam DF, cum bini utrobique anguli sint equales erit per undecimam quinti proportio sinus arcus BA ad sinum arcus \ [51]proportionem proportioni equalem esse scribe superius ubi de proportionibus / AC equalis AC maior est proportio quam sinus arcus BA ad sinum arcus AC \ quoniam arcus BA maior est arcu AC / quare et eiusdem corde BA ad cordam AC proportio maior est quam ED ad DF; est autem ED equalis corde BA, quare maior est BA corde ad AC cordam quam eiusdem BA ad DF proportio. Et ideo per octavam quinti AC corda minor est quam DF. Tu autem per hanc viam invenisti Folio 89r [Back to Top] view facsimile quantitatem linee DF cum discere velles quantitatem corde AC; quare plus quam veritas poscat pro ipso vere accipies, quod volebam demonstrare. Tria autem in hoc processu assumpsimus que fortasse non admittes nisi demonstrationibus firmentur. Primum. in triangulo spherali ABC sinum anguli C recti ad sinum B acuti se habere sicut sinum arcus B ad sinum arcus AC. Secundum. In triangulo DEF rectilineo et rectangul sinum anguli F recti ad sinum anguli E acuti esse sicut lineam ED ad lineam DF. Tertium. Corde BA ad cordam AC quam sinum arcus BA ad soinus arcus AC maiorem esse proportionem. Que omnia et quidem universaliter demonstrabimus se prius de terminis ipsis parum aliquid monuerimus. Sinum rectum quem hic brevitatis gratia sinum generali vocabulo dicimus nemo ignorat esse dupli arcus cordam dimidiatam, id est perpendicularem que ab altero termino arcus propositi diametro per alterum arcus terminum ducte incidit. Cum autem anguli et arcus quandam habeant cognationem quippe arcus determinare solet angulum si suepr cuspide eius tanquam centro vel polo circuletur et viceversa ex angulo quopiam dato magnitudo arcus nota subintelligetur et quemadmodum tota circumferentia \ in quatuor quadrantes / ut assolet \ et 360 / gradus equales scinditur ita et universum spatium quod puncto cuilibet sive in plana sive in spherica superficie circumscinditur in quatuor rectos et 360 angulos acutos equales dividitur, qui et gradus angulares haud iniuria nuncupari possunt, hinc est quod per sinum anguli cuiuslibet intelligi volumus sinum arcus angulum ipsum determinantis. Nunc ad tria sumpta singulariter quidem introducta universaliter autem demonstranda properemus. In omnium triangulo \ spherali / rectangulo acutum etiam habente angulum sinus anguli recti ad sinum acuti anguli proportionem habet quam sinus lateris rectum subtendentis ad sinum lateris acutum respicientis. Hoc theorema Gebro demonstratum est sed longe universalius in omni scilicet spherali triangulo sinus duorum laterum quorumlibet eam habere proportionem quam habent sinum angulorum qui lateribus ipsis opponuntur. Cum autem doctrinam huius viri acutissimi malignitas tua pene floccifaciat: alio quam spe usus est demonstrationis formula te urgebimus quam Folio 89v [Back to Top] view facsimile profecto nisi in Ptolemeum quoque etiam senire velis haudquaquam reiicere poteris. Sit itaque triangulus spheralis ABC angulum C quidem rectum, B autem acutum habens. Dico sinum anguli C recti ad sinum B acuti esse sicut sinum lateris BA ad sinum lateris AC, quod sic ostenditur Circulus BC per polos circuli AC incedit propter angulum C rectum Theodosii docente. Si itaque arcus BC fuerit quadrans circuli sui, necesse est B esse polum circuli AC, quare magnitudinem anguli ABC ex arcu AC venabimur et erit idem sinus anguli C recti et arcus BA quadrantis; unum denique et eundem sinum habebunt angulus B et arcus Acl quare in sinibus angulorum et arcuum eadem proportio repetita habebitur. Si autem arcus BC minor fuerit quadrante circuli, fiat BE quarta circuli et á puncto E exurgat perpendicularis arcus concurrens cum CA sursum porrecto in G. Iam conflata est figura sectoris cuius tu te illustratorem esse iampridem falso iactitabas; proportio igitur corde dupli arcus GE ad cordam dupli CA. Cum autem G sit polus circuli BE propter binos apud C et E rectos angulos; erit GC quadrans circuli; item propter angulum E rectum et arcum BE quadrantem punctus B est polus circuli GE atque idcirco BD quadra circuli comperitur; quare consequens prime et antecedens secunde componentium sunt equales et ideo antecedens prime ad consequens secunde componentium id est corda dupli BA ad corcdam dupli AC proportionem habet compositam ex eisdem componentibus; proportio igitur corde dupli BA ad cordam dupli AC. Corde autem duplorum arcuum eam habent proportionem quam et earum dimidie, id est snus recti dimidiorum arcuum; et ideo sinus GE ad sinum ED sicut sinus BA ad sinum AC. Sinus autem GE quadrantis est anguli recti et sinus DE determinantis angulum ABC est sinus eiusdem anguli; quare sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti proportionem habet quam sinus lateris BA ad sinum lateris AC; quod porro si arcus BC quadrantem vicerit resecto quadranate BE erigatur ut prius Folio 90r [Back to Top] view facsimile EG; duo autem arcus BA et BC exporrigantur donec in puncto F confluant utroque arcuum BAF et BCF semicirculari facto per Theodosii. Iam accepta sectoris figura GEF cuius vertex E non aliter quam antaehac docebitur sinum arcus GE quadrantis, id est anguli C recti ad sinum arcus DE, hoc est anguli B, proportionem habere que est sinus FA ad sinum AC, arcus autem FA cum arcu BA sinum habet communem, quandoquidem ipsi semicircularem arcuum constituant. Quare et sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti sicut sinus lateris BD ad sinum lateris DE, quod erat demonstrandum. Habes itaque robur primi sumpti explanatum non quidem ut arbitror suspectis mediis sed quibus vel ipse Ptolemeus uteretur si tale quidpiam demonstrandum esset. Nunc secundum univeralem eninciamus his verbis: In omni triangulo rectilineo sinus duorum anglorum [Diagram] quorumlibet, ea sunt proportione quam habent latera illis angulis opposita. Trianguli ABC latus AB ad latus AC duco eam esse proportionem que sinus anguli C ad sinum anguli B. Sunt enim puto duo predicta latera equalia; factisque centris B et C secundum longitudinem utriusque lateris describatur circulus, B quidem fiat centrum circuli AN, et C centrum circuli AM. perpendicularis itaque AD ex puncto A ad basim BC demjissa erit sinus utriusque anguli propositi. Sini itaque duorum angulorum eodem existente et lateribus equalibus nihil est quod proportiones reddere queat diversas. Rursus [Diagram] ponatur latus AB brevius latere AC. Extendaturque BA in E ita ut BE fiat equalis ipsi AC. Centris demum B et C ac distantiis equalibus BE et CA lineentur duo circuli equales, AM quidem cento C; EN autem centro B, demittanturque a punctis A et E due perpendiculares AD et EF; erit itaque per quartam sexti AB ad BE, id est AC sicut AD ad EF; est autem AD sinus anguli C cui opponitur latus AB; sinus autem anguli B [Diagram] latere AC subtensus est EF, Quare AB ad AC sicut sinus anguli C ad sinum anguli B. Hae [52] quidem figure usuveniunt neutro propositorum angulorum recto existente. Nam si alter Folio 90v [Back to Top] view facsimile eorum verbi gratia B rectus fuerit extendatur BA done fiat BE \ linea / equalis ipsi AC describunturque ut prius duo circuli equales centris B et ac distantiis BE et CA equalibus. Erit itaque AB sinus anguli C et AE sinus anguli B recti quia semidiameter circuli cumque BE sit equalis lateri AC, erit AB ad AC sicut eiusdem AB ad BE, id est sinus anguli ad sinum anguli B, quod erat demonstrandum. Tertium autem sumptum hoc tenore universali concludetur: propositis duobus arcubus inequalibus eiusdem circuli vel duorum equalium proportio corde maioris ad cordam minoris maior est proportione sinus maioris ad sinum minoris. In circulo ABCK cuius centrum H, diameter vero AK accipiantur duo arcus inequales, AB quidem minor, AC autem maior, quibus corde sue subaptentur et sinus recti BD et CE. Dico maiorem esse proportionem corde AC ad cordam AB quam sinus CE ad sinum BD, quod explicabitur hoc pact. Quoniam corda AC secat necessario sinum BD, fiat hoc in puncto F, á quo ad diametrum AK dedicatur FG equedistans corde AB, que per 32, 13 et 18 primi brevior erit quam AF atque idcirco per 8 quinti proportio AF ad FD maior est quam GF ad eadem FD. Est aute per quartam sexti AF ad FD sicut AC ad CE, et per eandem GF ad FD sicut AB ad BD, quare et proportio corde AC ad AD sinum CE maior est proportione corde AB ad sinum BD, quod fuit demonstrandum. \ corolarium / Huic demum illud trahitur proportionem arcus maiores ad minorem esse maiorem quam sinus maioris arcus ad sinum minorem esse maiorem quam sinus maioris arcus ad sinum minoris. Cum enim proportio arcuum sit maiore proportione cordarum suarum quemadmodum Ptolemeus demonstravit; cordarum autem proportio maior est proportione sinuum \ [53] principium vide cum proportiones non sint quantitaties / erit et per principium maior proportio arcus maioris ad minorem quam sinus maioris arcus ad sinum arcus minoris. Ratificata sunt igitur quemcumque superius ad confrigendum supplementum tuum introduximus quo scilicet per cordas lateribus trianguli spherali subaptatas rem mirificam pollicebaris et ad [Diagram] firmamentum ptolemaici calculi apprime conducturam Folio 91r [Back to Top] view facsimile Quibus illud quoque subvectendum censemus quod servato angulo reccto quem habet spheralis triangulus quam in triangulo rectilineo ex cordis facto non possit esse, si per duas cordas datas angulum acutum alteri earum oppositum rimari velis, neque tunc ad verum pervenies. Ut si repetita superiori figuratione angulo F trianguli rectilinei DEF recto existente ponatur DF equalis corde AC et DE equalis corde AB: quamvis angulus DFE rectus recti et lineus sit maior rectilineo angulo ACB; is enim minor demonstratus est angulo spherali ACB recto ad intellectum superius expressime, non tamen adhuc angulus DEF qui per viam cordarum invenietur equalis erit angulo spherali ABC acuto qui queritur, quod sic demonstrabimus. Cum enim sit proportio ED ad DF sicut sinus anguli F recti ad sinum anguli E acuti per secundum sumptum. Proportio autem ED ad DF id est BA corde ad AC maior est quam proportio sinus arcus BA ad sinus arcus AC, quorum quidem sinum proportio per primum sumptum est sicus sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti; sunt autem duo sinus angulorum rectorum utrobique equales, quamobrem per octavam quinti sinus anguli E rectilinei minor erit sinum anguli B spheralis; unde et angulus rectilineus minor est angulo spherali; quod erat exponendum. Igitur dum Gebrum sectari dedignaris qui res illas peracutissime prosequitur quamvis diu ac multum rudiorem viam tueri studeas, adhuc tamen a veritate diverteris, quod quidem multum ne an parum sit ostendere prolixam nimis videtur. Satis est \ impresentiarum / commovisse quod oleum suffulcimentis tuis impensum frustra evanuerit. Ceterum quid Ptolemeo accidere soleat dum arcubus abutitur tanquam rectis lineis, lucubrare conbimur, non quo tenuitatem ingenii sui notemus, sed quo certius sectator quispiam calleat quatenus huiuscemodi arcuum abusiones tolerari queant. Ad hoc si quando ventum fuerit ad duos numeros de quibus ambigitur uter eorum pro quesita quantitate sit accipiendus, quod se in calculis accidit, ut sciatur eum preferendum esse qui á vero minus recedit; huius Folio 91v [Back to Top] view facsimile igitur rei gratia proponatur triangulus spheralis ABC cuius C quidem angulus sit rectus, B autem acutus sitque animus per duo latera AB et AC nota investigare angulum ABC. More itaque Ptolemei hec duo data latera in rectas extendantur lineas constituaturque triangulus rectilineus DEF angulum quidem F rectum habens latus erunt DE equale arcui AB et latus DF equale arcui AC. Dico itaque angulum DEF qui per calculum Ptolemei \ invenitur / minorem esse angulo spherali ABC qui erat inquirednus, quod sic ostenditur. Proportio ED ad DF est sicut sinus anguli F recti ad sinum anguli E; est autem ED ad DF sicut arcus AB ad arcum AC quandoquidem ille recte istis arcubus equales constitute sunt. Arcus vero AB longioris ad arcum AC breviorem maior est proportio quam sinus AB ad sinum AC per cordarum tertii sumpti et sinus AB ad sinum AC sicut sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti; quare maior est proportio sinus anguli F recti ad sinum angli E quam sinus anguli C recti ad sinum anguli B atque idcirco angulus E minor habetur angulo B, quod fuit exponendum. \ [54] Summan huius et aliorum scribe in fine / Rursus supponatur angulus B notus cum arcu AC eum respiciente \ libeat que investigare arcum AB / exponatur itaque triangulus rectilineus DEF cuius angulus F quidem rectus sit, E autem equalis angulo B acuto et DF recta equalis arcui AC. Dico rectam DE quam Ptolemeanus numerus exprimit maiorem esse arcu AB qui erat investigandus. Cum enim ut prius proportio AB arcus ad arcum AC maior quam sinus anguli C recti ad sinum B anguli, id est quam sinus F recti ad sinum E anguli E sicut linea ED ad DF. Quamobrem maior erit proportio arcus AB ad arcum AC quam recte ED ad rectam DF. \ Datis duobus lateribus rectum angulum ambientibus, quid in calculo Ptolemei eveniet? Vide hoc / Erat autem DF recta equalis arcui AC, unde et per octavam quinti recta ED minor erit arcu AB, quod erat inferendum. Porro manentibus angulis ut prius ex dato arcu AB querendus sit arcus AC; postia itaque recta ED equali arcui AB. Dico rectam DF quam Ptolemei exhibet supputatio mariorem esse arcu AC quesito. Non enim aliter quam prius demonstrabatur arcus AB ad arcum AC maiorem esse proportionem quam recte ED ad rectam DF. Folio 92r [Back to Top] view facsimile cumque iam, ED postia est equalis arcui AB, erit per octavam quinti DF maior arcu AC quod fuit deducendum. In summa igitur quotiens per viam Ptolemei in triangulo rectangulo ex duobus lateribus datis queritur angulus acutus alteri eorum oppositus semper minus vero invenitur. Similiter quando ex angulo acuto una cum latere sibi opposito petitur latus recto angulo oppositum, citra verum sistitur. Dum autem per angulum acutum et latus recto obiectum angulo; queritur latus acutum \ subtendens / angulum maius aliquid ipso quesito latere elicitur; hec ut supra diximus non sint in Ptolemeum quasi subrudem iacta sed potius ad mentis sue interpretationem distinata ut sciatur quando citra et quando ultra prescisam metam; calculus evadat; quamvis differentia admodum parva sit in parvis arcubus. Cum hoc quoque insinuavimus processum Ptolemei non fuisee \ qualem / expositor ille autumat per ciruclos ipsis spheralibus triangulis circumscriptos sed per extensionem aut directionem arcuum, et angulorum spheralium in planos traductionem ut expresso triangulo rectilineo et eidem circulo circumducto, theoremata geometrica una cum tabula cordarum ipsis possent accommodari. Nam et si \ exporatorum habeamus quo pacto / so spherali triangulo cuicumque circulus possit circumscribi, quia tamen anguli spherales per arcus circumscripti circuli eis subtensos determinari nequerent quod quidem in planis evenit, ideo per quam sorte Ptolemeus spherales triangulos presertim siquando breviusculis essent arcubus in planitiem distendere consuevit; ut quod vel ex angulis datis innotescerent \ latera tamquam / corde arcuum tales angulos subtendentium \ vel ex lateribus quasi cordis arcus ex arcubus demum anguli patefierent / factisque ut assolet proportionum traductionibus anguli et latera reciprocam sibi quandam prestarent investigandi facultatem.
- See Chapter 4 for the transcription of the preceding lines of this folio. (footnote) [Back to Text]
- corr. from diximus, with latter part surviving (footnote) [Back to Text]
- planete inequales (footnote) [Back to Text]
- eiusdem either before or after qui scilicet (footnote) [Back to Text]
- not clear whether diversitas is to be omitted (footnote) [Back to Text]
- original has faint hint of " for weaker-inked marginalium on left (footnote) [Back to Text]
- looks like this was originally teritus, with "us" now crossed out (footnote) [Back to Text]
- "a" should be deleted too (footnote) [Back to Text]
- error scraped away; correction has "blottered" (footnote) [Back to Text]
- where? perhaps a comment that does not belong in the text (footnote) [Back to Text]
- No quotation marks anywhere here in original (footnote) [Back to Text]
- Corr from "cum" by overwriting ("c" remains) (footnote) [Back to Text]
- subrudi is prob an adverbial coinage based on rudis, as the phrase that follows hints. (footnote) [Back to Text]
- word occurs twice in ms; end of top line, beginning of bottom line (footnote) [Back to Text]
- Used in Manilius, Astronomica, I, 202; also Varro, Lucretius, Cicero (footnote) [Back to Text]
- R’s parentheses (footnote) [Back to Text]
- Note partly canceled, remaining text reads (footnote) [Back to Text]
- "i" very thick, probably changed from iidem (footnote) [Back to Text]
- The words, rectangularis, paucis and pvelit have all been written over spaces where other words were crossed out; the beginning and ending of auscultare has been "fixed" in the same way (footnote) [Back to Text]
- lowest right mg, catchword, therefore end of quire (footnote) [Back to Text]
- A 4-letter space precedes this name and its apperance in canceled line (footnote) [Back to Text]
- exigeret and exequeretur placed one above the other; neither crossed out (footnote) [Back to Text]
- This passage suggests that Regiomontanus knew nothing yet about dedication to Mehmed; there are references to GT in jail earlier; search "carc" (footnote) [Back to Text]
- At bottom, seemingly unattached (footnote) [Back to Text]
- There is an extra syllable at end as if -cemtis (footnote) [Back to Text]
- No clear reference in text (footnote) [Back to Text]
- But with turpiter not c.o. (footnote) [Back to Text]
- A reference (footnote) [Back to Text]
- inter is unclear (footnote) [Back to Text]
- corr from longer cognate, shortened by scratching (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- recedentem corr by overwriting of recedendum sit; sit is unclear (footnote) [Back to Text]
- Aside? (footnote) [Back to Text]
- Aside (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- posita in mg, with corresponding mark over absente, which is not canceled (footnote) [Back to Text]
- Note correction! (footnote) [Back to Text]
- Here the text has á, but this seems to be a mistake (footnote) [Back to Text]
- Again text has á, an obvious mistake (footnote) [Back to Text]
- Two diagrams, including one on f. 80r top, with note (footnote) [Back to Text]
- Catchwords (footnote) [Back to Text]
- conc not canceled (footnote) [Back to Text]
- No quotation marks in text; my guess from formal considerations (footnote) [Back to Text]
- No quotation marks in text; my guess from formal considerations (footnote) [Back to Text]
- Here? (footnote) [Back to Text]
- No particular place (footnote) [Back to Text]
- Marker? (footnote) [Back to Text]
- Regimontanus’s note to himself (footnote) [Back to Text]
- He, with "e-cedille" (and "c" c.o. (footnote) [Back to Text]
- Aside (footnote) [Back to Text]
- Regimontanus’s note to himself (footnote) [Back to Text]
Notation Key
[Back to Top]- Superscripted \ text / indicates additions.
- superscripted [number] indicates a footnote.
- [Diagram] indicates the location of a diagram