Book 5 - Diplomatic transcription
[Notation Key]Folio 57v [Back to Top] view facsimile [1] Iam quintum Ptolemei librum ab iniquis exposiunculis vindicare iubemur, quod quidem paucissimis efficere mallemus quam longo verborum contextu diem terere, modo id sineret maleo hominis stoliditas, qui mox super capitulo secundo: "Si ergo," "inquit, "supponamus lunam in P vel X me- Folio 58r [Back to Top] view facsimile "diis epicycli longitudinibus ubi et quadrature ipsius fiunt, cernetur in punctis N vel M zodiaci." Per quadraturas autem, quemadmodum in capitulo primo exposuit, figuras intelligit quas greci dichotomos appellant, hoc est quando luna media plena est, quod in quadraturis accidit quando videlicet 90 gradibus distat a sole. Tales autem quadrature non in longitudinibus mediis \ in / epicycli, sed ecentrici longitudinibus mediis situm sibi determinant. In epicycli enim longitudinibus mediis soli coniungi potest lunam et eidem per diametrum opponi, quod in locis quadraturarum fieri nequit. Hunc hominis errorem vicio librarii accidisse non est verisimile, quippe qui paulo inferius re idem repetit. "Qui igitur, inquit, ita hoc in quadraturis quando luna in mediis cursibus est, hoc est inter maximam et minimam epicycli longitudinem etc." Sed cum hec falsa enuntiatio a pueris etiam notari possit, ad aliam properemus "quam super capitulo sexto circa finem expromit. Hec, inquit, distinctio necessaria fuit quoniam motus erraticarum a maxima longitudine capimus, quod recte procedit in ceteris. In luna vero non ita, nam motus epicycli neque ad totius centrum neque ad excentrici fit, sed ad punctum N, ut dictum [2] [3] imus est. Ita duplex in luna media et vera, simplex in ceteris maxima longitudo invenitur." Hec ille. Est autem punctum N in figura Ptolemei quod per diametrum parvi circuli opponitur centro ecentrici. Quod in luna duplex longitudo maxima inveniatur, una quidem respectu centri mundi, alia vero respectu puncti qui per diametrum parvi circuli opponitur centro ecentrici verum est. in ceteris In ceteris autem planetis illud non accedere, sed simplicem inveniri longitudinem maximam, error est. Nam et illi duplicem habent \ epicycli sui / longitudinem maximam, unam quidem que respectu centri equantis perpenditur, unde motus planete equalis in epicyclo computatur, aliam autem que respectu centri mundi accipitur; unde scilicet motus inequales planete [4] in epicyclo colligitur, ut deinceps \ cognoscatur / angulus diversitatis qui \ ut iuniores vocant / equationem argumenti continet; quarum certe longitudinum maximarum distinctio atque notitia non magis necessaria est in lune quam ceterorum Folio 58v [Back to Top] view facsimile planetarum motibus m supputandis. Nonne illud insuper a quaqua a minimo quopiam discipulo notari potest? Quod super capitulo nono exponens terminos quosdam assert. "Est autem, inquit, verus locus lune quem designat linea exiens á centro orbis signorum per centrum lune ad orbem signorum, et dicitur motus longitudinis. Medius autem longitudinis est quem ostendit linea exiens a centro orbis signorum per centrum epicycli ad zodiacum similiter tribus inde sexagesimis detractis." Non sunt detrahende tres sexagesime quoniam a fixo quodam termino zodiaci uterque motus tam verus quam medius sumit initium, non a nodo ecliptico qui ternis feré minutis dietim movetur contra signorum consequentiam, trahens secum borealis borealem terminum obliqui lunaris circuli, quoniam terminus ille borealem obliqui lunaris circuli obliquationis lunaris semicirculum semper dividit per equalia. Unde et inscitia hominis proditur circa finem huius noni capituli super illo textu: "Latitudinis autem á boreali termino. Attende bene, inquit iste, quod tabulam latitudinis non incipit á nodo et forte quoniam nodus movetur, sed á boreali termino remotissimo, videlicet qui fixus stabilisque habetur." Hec ille. Si motus latitudinis apud Ptolemeum á nodo non sumit initium quia nodus ille movetur neq profecto neque á termino boreali potuit inchoari, quippe qui tantumdem quantum uterque nodus necessario moveri comprehenditur. Sed et Itaque motum latitudinis á termino boreali apud Ptolemeum supresisse initium, auctoris arbitrio factum est, non ratione quapiam urgente; quamvis et ille borealis terminus videatur insignior locus obliqui lunaris circuli et priscorum non nulli annum solarem atque cursum solarem á capite cancrino propter loci excellentiam inceperint. Rursus in sequenti capitulo hominis ignavia notatur circa hunc textum: "Quoniam ergo duobus modis. Quando, inquit, centrum epicycli movetur a maxima ecentrici longitudinem duobus modis differentia inequalitatis maior fit, vel propter ecentricum quoniam accedit terris epicyclus et facit ad E centrum zodiaci maiorem angulum, ut in secundo capitulo huius dicitur, vel propter epicycli flexionem. Maior autem differentia propter primam causam est ¯2 [5] 39′ que accidit quoniam inequalitas que fit ex motu lune maior invenitur quam 5 [6] 1′ per 2 [7] 39′ quando epicyclus est in minima ecentrici" Folio 59r [Back to Top] view facsimile et luna in contactu; propter secundam autem, quando in maxima vel minima epicycli longitudine luna est, tunc enim propter flexionem epicycli maxima fit differentia et tunc nulla feré penes primam causam est. Prima enim maxima est quando epicyclus per quartam circuli partem proxime distat á maxima ecentrici longitudine; ipsa vero luna in tangentibus epicyclum lineis; hoc est in altera earum; tunc enim ambe maxime sunt et epicycli et ecentrici ac ideo simul colliguntur gradus 7′ 40″. Hec ille. Quod differentia que penes primam causam accidet, maxima fiat epi quando epicyclus per quartam feré circuli partem distat ab auge ecentrici, manifestus error est siquidem propter accessum epicycli ad centrum mundi hec concresit differentia. Dum autem epicyclus in eo situ memorato constituitur, non habet maximam \ sed mediocrem / ad centrum terre vicinitatem. Quare neque maxima p tunc esse potest differentia que propter eam causam conquiritur. Verum epicyclo \ quidem / longitudinem minimam ecentrici possidente, luna autem in altera tangentium constituta, maxima huiuscemodi differentiam quemadmodum Ptolemeus argutissime expressit, accidere necesse est. Cuius rei demonstrationem hic asserere linearem super vacaneum \ vacuum / arbitramur quoniam ab unoquoque subrudi etiam res illa quam facillime percipitur. Quare et homo iste avidior ad mordendum quam docendum et homo \ Quod quidem et homo / iste mordendi magis quam docendi aviditate captus si reminisceretur verba sua que paulo antea protulit; idem utique confiteretur adeo enim exporrigere dentes studet veneficos ut quod iam nunc asserverit, plusculis \ temere / interiectis per oblivionem incautus per oblivionem destruat; quod et super capitulo Ptolemei tertiodecimo ostendit ubi expositis variis lune a terra distantiis propter eccentricum et epicyclum evenientibus, quare inquit quamvis ignorantia eorum. Quod si nollet [?unknown?] Et si ut est pervicatia hominis fateri nollet, vi argumentationis geometrice urgebitur in hunc modum. Describatur eccentricus lune circulus ABC super centro D, cuius diameter AC contineat centrum mundi E. Unde quoque fieri necesse est ut A quidem sit longitudo ecentrici maxima, C autem minima. In quibus longitudinibus statuantur duo circuli parvi equales epicyclum Lune representantes: a centro mundi quos contingant due recte EF et EH á centro mundi educte in duobus punctis \ Hic ostendendum ubinam accidat maxima diversitas propter flexionem epicycli / Folio 59v [Back to Top] view facsimile F et H. Hec puncta contactum iungantur cum centris epicyclorum A et Quod A et C. Quod itaque angulu sub angulo AEF contineatur maxima diversitas lune que propter epicyclum in A constitutum evenit; luna itemque sub angulo CEH maxima propter epicyclum in C positum line d demonstratione non eget. Verum angulum CEH maximum esse omnium parilium qui scilicet penes contactum fiunt, et angulum AEF omnium mini esse minimum, id impresentiarum demonstrare libet. Ponatur enim centrum epicycli ubilibet in semicirculo ABC in ubicumque collibitum fuerit in semicirculo ecentrici ad longitudines extremas terminato, verbi gratia in puncto B, super quo describatur epicyclus ipse et linea quem contingat EG in puncto G, ducta semidiametro epicycli BG. Iam angulus BEG maximam lune diversitatem que penes epicyclum ann accipitur comprehendit, qui quidem angulum minor necessario est angulo CEH maior autem angulo AEF. Cum enim in diametro ecentrici AC punctus E preter centrum signatus sit, erit \ per 7 tertii Elementorum / EC brevissima omnium sibi conterminarum ad circumferentiam ecentrici ex desinentium. Brevior itaque erit ipsa EB, unde et per communem scientiam quadratum EB superab id quod per penultimam primi [=Elementorum] duobus quadratis linearum EG et GB equipollet, maius erit quadrato EC, id est, duobus quadratis linearum EH et HC; ablatisque utrobique equalibus quadratis linearum BG et CH, relinquetur per conceptionem animi quadratum EG maius quadrato EH; quamobrem et EG longior erit linea EC. Sumpta itaque GBE Resecta itaque BK GK ad equalitatem EC ducatur BK claudatur triangulus BGK qui per quartam primi [=Elementorum] equalis et equiangulus ostenditur triangulo EHC quoniam duo eius latera BG et GK duobus lateribus CH et HE sunt E trianguli EHC sunt equalia et uterque angulorum memoratis apud G et H rectus est per 17 tertii [=Elementorum]; quare angulus CEH equabit angulum BKG; sed angulus ille BKG per 16 primi [=Elementorum] superat angulum BEG; per principium igitur angulus quoque CEH eundem exce eodem maior erit. Sic Summatim ergo ex ha habitudine lin remotionum centri epicycli á centro mundi dependet crementum magnitudine angulorum penes contactus evenientium quandoquidem diameter epicycli et rectitudo anguli apud contactum ubique servantur. Hinc rursus facile concludes angulum AEF esse minorem angulo BEG. Hec Folio 60r [Back to Top] view facsimile etsi levia admodum sunt, quia tamen ab expositore non modo preterita sunt, verum etiam ignorata declarari oportuit, quo temeritas hominis iniqui recentioribus etiam mathematicarum amatoribus innotesceret. Ceterum in quo puncto situ epicycli maxima diversitas propter flexionem accidat operepretium erit intelligere; nam etsi Ptolemeus asserat eam fieri \ quidem / dum epicyclus per quartam in quadraturis mediis, id est quando luna secundum medio suo cursu per quartam circuli zodiaci distat á medio loco solis \ ab auge cocutus[?] /; et expositor iste autem noster eam evenire dicat in extremis longitudinibus epicycli, nullam faciens mentionem de situ epicycli in ecentrico; est tamen invenire certum quendam situm epicycli in eccentrico, itemque certum ep lune in epicyclo situm ubi maxima evenire soleat huiuscemodi diversitas. Quod ut expressius ante oculos ponatur, sit eccentricus delator epicycli lunaris ABC super centro D lineatus; in cuius diametro AC per A longitudinem longiorem [?unknown?] et C propiorem incedente sit centrum mundi E. Epicycli centrum sit in quadratura lunari sit punctus B, per quem a centro mundi E veniat recta EB que ad summitatem epicycli excurrens offendat Q longitudinem longiorem epicycli. R autem sit longitudo eius propior; ponaturque centrum globi lunaris in T puncto, ita ut arcus QT sit motus diversitatis lune per tabulam suam (iamdudum enim contexta fuit) elicitus ad te horam considerationis. Erat autem et radix eius motus inventa perinde quasi motus ille equabilis esset respectu longitudinis longioris epicycli. Ducatur etiam recta ET. Cum itaque situs epicycli notus sit ad tempus propositum erit punctus \ quoque / ce zodiaci quem commonstrat EB linea illuc protensa, non latebit; arcus autem QT notus angulum QBT atque idcirco reliquum de duobus rectis EBT latere non sinet; est proportio denique EB ad BT semidiametrum epicycli non ignorabitur, quoniam linea EB propter situm epicycli notum, innotescit. Trianguli ergo EBT angulus BET notus erit et in arcus zodiaci ab eo comprehensus qui diminutus ex motu lune medio re- \ Utire posthac tabula sinus in qua sinum totum habes 100,000 / Folio 60v [Back to Top] view facsimile locum zodiaci quo porrigitur ET linea cognitum. Is autem locus zodiaci á loco lune vero per instrumentum accepto differre comparitur et quidem ad succedentem partem signorum; quare linea veri motus lune vicinior erit ad principium Arietis quam line ET. Ea igitur sit EV, ita ut V sit centrum lune distans ab auge epicycli per arcum QV, qui si notus fuisset profecto et locus lune per computationem inventus recte inventus esset. Sed non erat nisi arcus QT notus qui minor est arcu QV per arcum TV, cui ponatur equalis QP ita ut per communem sententiam facto PT communi, arcus PV fiat equalis arcui QT. Cum autem tabule motuum equalium non nisi equales motus exhibeant, id enim officium est earum. Eos autem equales motus á certo quodam initio \ termino [8] / computari oporteat si reliquum eius terminum \ scilicet ad quem / investigare velimus; est autem in proposito reliquus te ille terminus lun globi lunaris centrum: quem quidem terminum mutari non licet quoniam situm eius semper querimus; quare punctus P fuit initialis terminus eius arcus quem per tabulam diversitatis elicuimus á quo scilicet \ et respectu cuius in hac consideratione / equaliter lunam motum diversitatis equabilem emensa est. qui Sed punctus P ab aliis epicycli punctis internosci nequit nisi quoniam omnia cuiuscumque circumferentie puncta nisi externo quodam adminiculo succurrente; omnia enim circumferentie punct cuiuscumque puncta eadem habitudine ad centrum referuntur: producta itaque PB semidiametro epicycli donec occurrat diametro ecentrici longitudines extremas continenti in puncto N: manifestum est longitudinem epicycli longiorem media respec flecti ad punctum N, quod si semper eveni ita eveniet dum centrum epicycli s decurrit inter longitudines extremas eccentrici, erit punctus N idoneum principium unde cognoscatur longitudo longior epicycli media. Illud autem per plurimas observationes sic se habere compertum est. Quamobrem operepretium est investigare longitudinem linee EN, ut dato puncto E detur et punctus N. Notitia autem linee EN dependet ex cognitione anguli EBN adiuncta proportione angulorum EBN et BEN uná cum linea BE est verum tam linea BE quam angulis BEN latere non potest propter situm epicycli datum. Angulus etiam EBN notus daretur Folio 61r [Back to Top] view facsimile si arcus RS aut ei equalis PQ innotesceret. Quare ad notitiam arcus PQ sive TQ properandum est. Cum autem triangulus EBV duo laterum EB et BV \ proportionem / cognitam habeat propter situm epicycli et angulum BEV datum propter situm duarum linearum EB et EV cognitum; quarum altera quidem EB medium \ ex computatione elicitum / lune motum mer altera autem EV verum eiu lune motum instrumento deprehensum indicat; erit et angulus EBV et ie atque idcirco reliquus de duobus rectis VBQ datus et deinceps arcus QV non ignotus. Erat autem et QT notus per tabulam motus diversitatis; quare et reliquus EV, id est QP d et inde angulus PBQ sive EBN cognitus. Constat autem differentiam que inter computationem tabularem et observationem instrumentalem deprehenditur complecti angulo TVO quem subtendit arcus epicycli EV, qui qui etsi equalis sit utrique arcuum PQ et RZ, non tamen tantum subtendit angulum in centro mundi \ subtendit angulum / quantum uterque dictorum arcuum in centro mundi subtendit angulum et ut exemplo clarius pateat, ductis lineis PE et SE quamvis arcus TV equet utrumque arcuum PQ et RS non tamen angulus TEV diversitatis tertie que propter flexionem accidit equalis est alteri angulorum PEQ et RES, sed minor utroque eorum preterea an. Itaque tertia diversitas motus lunaris in proposita observatione dependet \ non solum / ex magnitudine et situ arcus TV et positione arcus TV \ eiusdem [9] / qui scilicet inter situm lune opinatum respe et inter situm lune verum et opinatum concluditur; sed et ex positione eiusdem, nam si \ epicycli situ non mutato / per computationem, luna in auge epicycli deprehenderetur esset utique propter flexionem in puncto P et angulus diversitas tertie et sub angulo PEQ contineretur \ Et ideo / diversitas [10] tertia est autem sub angulo PEQ contineretur qui certe maior est angulo TEV, quamvis duo arcus PQ et TV equales existant. Et si in longitudine propiori per numeros tabulares luna inveniretur, id est, in puncto R, necesse esset eam in puncto S flexionis urgente constitui, quare angulus diversitas tertias flexionis suo angulo RES continetur, qui maior est non tam angulo PEQ quam TEV tametsi arcus epicycli RS, PQ, et TV memoratis angulis conclusi sint equales. Ceterum quoniam arcus PQ \ qui inter duas auges epicycli veram et mediam continetur / perinde quasi radix est huius diversitatis tertie. Ipse autem verius invenitur alius ad alium Folio 61v [Back to Top] view facsimile epicycli situm in eccentrico invenitur nam ab auge eccentrici in qua nullus est pedetentim augetur donec quippe in auge ecentrici ac eius opposito nullus \ omnino / prorsus invenitur; cumque ab auge et ecentrici recedens epicyclus pederentim augeat hunc arcum. Dum autem opposito augis appropinquat, sensim decrescit, profecto in medio itinere erit reperire statum, id est finem, talis crementi et principium decrementi ubi scilicet talis arcus habetur maximus. Qui ergo determinant statuit in quo situ ubinam tertia diversitas eveniat \ quam / maxima non solum ad epicyclum spectare debet \ propter flexionem / [11] verumetiam ad eccentricum ut ex per situm epicycli in tam ecentrico secat addiscat maximam intercapedinem que duas epicycli auges \ veram et mediam / seiungere potest. Deinde ad epicyclum se commentat ut sciat in qua positione talis intercapedo quam maximum angulum in centro mundi subtendat. Primum autem horum duorum etsi Ptolemeus dicat esse in quadraturis lunaribus lune, hoc est luniaribus[?] [12] per quadram circuli secundum penes cursus medios distantibus, non tamen ad unguem est in ipsis quadraturis sed 24 fere gradus post Primum igitur horum sic explorandum erit. [?unknown?] Sit eccentricus lune circulus ABC super D centro descriptus, in cuius diametro AC centrum mundi sit E punctus atque idcirco A quidem longitudo eius longior, C autem propior eius longitudo. In ea etiam diametro, sit N punctus flexionis tantum ab E centro mundi remotus quanta [13] est eccentricitas, quemadmodum Ptolemeo demonstratum est. Exponaturque semidiameter eccentrici DP cuius ad DN data proportioni sit equalis proportio DE ad DQ. Erit itaque DQ data quoniam tres prime linee date sunt. Unde et QP et idcirco dabitur qua divisa per medium in puncto R, erit QR data et tota igitur DR. Dividatur etiam EN per medium in puncto H unde ODH quoque non erit ignota. Est autem DR longior linea DH, quoniam quadratum DR per sextam secundi Elementorum equatur ei quod fit ex QD in DP cum quadrato QR. Quadratum etiam DH equale est ei quod sub ND et DE continetur et quadrato EH, quod autem sub Folio 62r [Back to Top] view facsimile \ loci sunt allegandi quamvis usitati propter cause qualitatem quoniam agitur contra adversarium / PD, DQ continetur rectangulum equale est ei quod sub ND, DE per 15 sexti [14] . Quadratum autem QR maius est quadrato EH si quidem linea QR maior est linea quam linea EH; id autem evenit quia ED superat lineam DQ. Quare per principiumcipia geometrica DR superabit lineam DH. Iam ex puncto H producatur sinistrorsum orthogonalis ad AC, ex qua sumatur HO potentia quidem equalis excessui quadratorum DR et DH; ductaque semidiametro ecentrici DB per punctum O. Dic Dico B esse punctum quesitum in quo scilicet ep ubi scilicet centro epicycli constituto \ provenit / maxima intercapedo vere et medie augium epicycli. Quod sic ostenditur: ponatur DL equalis linee DQ, divisaque LB per medium in O puncto, ducantur due recte OE et ON, quarum utraque ex utrique linearum LO et OB necessario erit equalis. Nam per penultimam primi quadratum DO duobus quadratis linearum DH et HO equipollet. Verum quadratum D per DO per sextam secundi [15] equale est rectangulo linearum LD, DB una cum quadrato LO. Et per eandem etiam quadratum D equatur rectangulo linearum ED,DN et quadrato EH. Duo autem quadrata linearum EH et HO per penultimam primi [16] equant quadratum EO quamobrem rectangulum linearum LD, DB una cum quadrato LO equatur rectangulo linearum ED, DN cum quadrato EO sed demptis, igitur utrobique equalibus rectangulis his quidem linearum LD,DB. Illic autem linearum ED, DN, \ quoniam DQ et DL equales sunt / relinquetur quadratum LO equale quadrato linee EO et ideo linea LO linee EO equalis. Est autem EO EO per quartam primi equalis linee NO quatuor itaque circulus igitur O centro et distantia OL lineatus per quatuor puncta LENB proculdubio incedet. Is etiam intrinsecus continget circulum ecentricum in puncto B quoniam si ex B puncto linea othogonalis ad DB utrimque educatur, ea per 15 tertii [17] utrumque circulum continget in puncto B. Unde et ipsi circuli sese contingent. A communi igitur puncto B due recte ad duo puncta E et NO ad duo puncta E et N ducantur due recte BE et BN quas dico continere angulum maximum omnium qui basi quidem EN consistentium, cuspides autem in semicirculari arcu ABC habentium. Sit enim alius talis angulus cuspidem in EMN cuspidem in X habens ductis duabus rectis Folio 62v [Back to Top] view facsimile [?unknown?] XE et XN quarum altera necessario secabit circulum BNE \ puncto X extra circulum BNE existente /; secet itaque XE circumferentiam circuli parvi in puncto M et tunc quod iungatur puncto N per lineam MN; erit itaque angulus EBN equalis per 20 tertii equalis angulo EMN, qui per 16 primi [18] maior est angulo EXN; quare et angulus EBN maior est eodem. Non aliter ratiocinaberis ubicumque cuspidem anguli constitueris extra punctum B. Et quemadmodum de pun est autem in medietate quoque ecen dextra eccentrici invenire punctum similem ipsi B, in quo scilicet maximus accu fit omnium angulorum basi EN insidentium et cuspides in dextro semicirculari arcu habentium. Is autem punctus similem habet situm respectu augis eccentrici sicut punctus B. Constat autem intercapedinem duarum augium epicycli sequi magnitudinem anguli sepe dicti ubicumque centrum epicycli constituatur. Nam si verbi gratia duas centrum epicycli in B posueris et duas lineas EB et NB ad fis fastigium epicycli extraxeris, erit per ultimam sexti proportio quibusdam aliis repetitis proportio anguli EBN, id est contrapositi sui ad quatuor rectos que est intercapedinis augium ad totam epicycli circumferentiam. Ubi ergo maior est memoratus angulus ibi et maior fit augium intercapedo; et ubi minor, minor. Iam si libet angulum talem maximum situm memoratum \ per numeros / investigare ubi scilicet angulus intercapedinis augium est plurimus; assumamus numeros quos Ptolemeus \ semi / diametro eccentrici et eccentricitati tribuit. semidiame eccentricitas apud enim est 10 [19] 19′ \ et tanta etiam est EN / ut semidiameter ecentrici est 49 [20] 41′ quos numeros quibus numeris in minutias [21] resolutis, erit ecentricitas 619′, semidiameter vero ecentrici 2981′. Et ED in DN, id est duplam DE, fit 758322″, qui divisus per 2981, id est semidiametrum ecentrici elicit 254′ lineam DL, que dempta ex semidiametro ecentrici relinquit 2727′, cuius dia medietas 1363′ fere adiecta linee DL conflabit lineam DO 1617′ fere. Est autem linea DH 928′ divisa EN per medium in H. Demissa igitur perpendic BY perpendiculari ex B ad diametrum ecentrici erit DH ad DY sicut DO ad DB. Exibitque linea DY 34434′ quare Folio 63r [Back to Top] view facsimile si posuero BD 60000 partium, erit DM hoc respectu 34434, id est sinus rectus arcus BC, unde et ipse BC arcus elicitur 54 [22] 59′ distantia videlicet puncti B á longitudine ecentrici propiore secundum partes circumferentie ecentrici; et residuus de semicirculo \ id est AB / erit 125 [23] 1′. Nos autem querimus solum arcum AB sed augu quoniam motus lune equalis non perpenditur in circumferentia ecentrici, sed in zodiaco et ideo angulum AEB qu querimus ut si quando distantia epicycli lunaris secundum cursum medium fue ab auge ecentrici fuerit equalis quantitati talis anguli, sciamus tunc maxima augium epicycli esse intercapedinem. est Erat autem DE 619′ ut DB 2981′; dum autem DB est 60000, erit DE 12459′. Unde reliqua EM erit 21975. Linea vero BY eodem respectu erit cum sit sinus arcus BC erit 49139′ et ideo EB quoque erit 53829. Dum autem EB ponitur 60000, erit BY 54772, id est sinus vel arcus subtendentis angulum BEY de circumferentia circuli super E centro lineati; quare angulus BEY erit 65 [24] 54′ et reliquus de duobus rectis AEB erit 114 [25] 6′. Quando itaque centrum epicycli medio suo cursu distat á longitudine longiori ecentrici utrique per 114 [26] 6′ maxima, accidit augium epicycli intercapedo quam iuniores vocant equationem centri; quod quidem non in longitudinibus ecentrici mediis ad unguem fieri solet se infra eas versus longitudinem ecentrici propiorem. Nam si rite numeros exerceas, elicietur linea EB in hoc situ id est remotio epicycli á centro mundi 53 [27] 49′ ut semidiameter ecentrici, id est longitudo media est 60 partes. Hec paulo diffusius tractata sunt ut res nuper inventa in lucem ederetur et simul penuria expositoris nostri deprehenderetur qui in minimis quandoque rebus diem terit [28] ubi vero standum esset, salit repente ne inscitie arguatur; hac de tertia \ itaque / diversitate lunari \ quatenus / quantum ex ecentrico pendet \ satis dixisse videmur /, nunc quatenus ad epicyclum refertur agendum, que res unum tali comparabitur theoremate. Si extra circulum á puncto extra circulum quempiam sumpto, recta quedam per centrum eius ducatur, alie item due circulum contingentes applicentur, sumanturque ex circumferentia duo arcus eque equales quidem inequalem autem á [29] fastigio \ vel a fastigio vel ab imo / circuli recedentes: [30] Folio 63v [Back to Top] view facsimile [?unknown?] qui fastigio vel imo circuli vicinior fuerit, maiorem apud punctum ex in puncto externo subtendit angulum quam qui remotior ab eo fuerit. Voco autem fastigium circuli punctum in quod incidit recta que á puncto extremo per centrum circuli ducitur; reliquum autem scilicet punctum sectionis voco imum. A puncto externo Ex puncto A ducatur recta AB per E centrum circuli BCD, secans eum in duobus punctis B et Q, ita ut B quidem fastigium; Q autem imum circuli fiat; applicenturque due tangentes circuli AC et AD. Sumantur denique duo arcus equales FG quidem vicinior fastigio circuli; HK autem remotio cita contactum tamen. Ita enim voluimus theorema restringere aut aut ambo arcus in parte superiori circuli aut que est supra puncta contactuum aut ambo in parte inferiori accipiatur. Ductisque lineis AF, AG, AH, et AK. Dico angulum FG FAG maiorem esse angulo HAK. Quod sic ostendetur. Signentur puncta L et M in quibus due recte AG et AK secant inferiorem partem circumferentie; per que dico puncta deorsum á punctis F et H veniant due recte eó excursure ubi suscipere possint duas perpendiculares ex puncto A demittendas. Sintque tales AN quidem ad FN et AP perpendicularis ad HP Cum itaque accp duo anguli FLG et HMK, id est duo eis contrapositi ALN et AMP sint equales Cum itaque duo anguli ALN et AMP id est duo eis contrapositi FLG et HMK sunt equales per 26 tertii. Uterque autem angulorum apud N et P rectus sit 32a primi duos triangulos LAN et MAP equiangulos pronunciabit quare per quartam sexti LA ad AN sicut MA ad AP; cumque per 8 tertii MA sit longior quam LA erit AP quoque permutatis terminis proportionum longior quam AN; est autem AH brevior quam AF per tandem octavam tertii; quamborem proportio AP longior [?unknown?] ad AH maior est proportione AN ad AF; hec ex octava et duodecima quinti comprobantur. Et ideo per sumptum triangulorum rectangulorum angulus HAP, id est HAM maior erit angulo FAN, id est FAL. Sed per 32 primi duo anguli FAL et AFL simul sumpti sunt equales duobus HAM AHM; quoniam duo eorum externi quibus ipsi singulatim equipollent FLG et HMK sunt equales per principium igitur si[?] ab equalibus inequalia detraxeris relinquetur angulus FAL id [31] FAG maior angulo \ Hoc theorema epicyclicum aliter demonstrare poteris: Erit enim per librum triangulorum planorum Al ad LF sicut sinus anguli FAD[?] ad sinum anguli FAL. Similiter in triangulo AMH. Sed maior est proportio AM ad MH quam AL ad LF; quare et sinus anguli AHM ad sinum anguli HAM maior quam sinus anguli LFA ad sinum anguli FAL. Sunt autem illi duo equalis istis duobus. Fiat ergo simul iunctis. Fiat itaque translatio ad arcus per problema tale. Si idem arcus circuli in duo per duo puncta in binas scindatur portiones fueritque que maior est proportio arcus ad sinum eis sinus unius ad sinum sui complementi quam sinus alterius ad sinum sui complementi, maior proportio consequentem arcum minorem prebebit. / Folio 64r [Back to Top] view facsimile HAM sive HAK, quod erat ostendendum. Etsi alter propositorum datorum arcuum equalium fastigium circuli aut ani incluserit aut etiam ambo sed inequaliter, ille eorum fastigio censebitur vicinior cuius medius punctus vel in ipso est fastigio vel eidem propinquior est; eo itaque arcu resoluto in duos similes tantos scindatur; ingeminatoque syllogismo iam nunc exposito, concludetur veritas theorematis. Sed accipiantur iam duo equales NL et OM in parte inferiori; ductisque perpendicularibus LP et MQ, fient duo trianguli FLP et HMQ equianguli per rectam tertii et 32 primi. Et ideo per quartam sexti, LP longior sit quam HM; quare et per 8 ac 12am quinti cum suis adminiculis cum maior erit proportio LP ad LA quam MP MQ ad MA; est enim MA longior quam LA per 8 p tertii. Et ideo per sumptum superius allegatum angulus LAP, id est LAN superabit angulum MAQ sive MAO; quod expectabatur demonstrandum. Hoc igitur theoremate expedite redeamus ad figurationem qua que superius usi simus superiorem in quam etsi duo arcus PQ et TV equales sint d angulus quia tamen PQ arcus est vicinior fastigio eipicycli [32] maior habet erat angulus PEQ maior habetur angulo TEV quorum uterque complectuntur diversitatem ex flexione epicycli proveniente; ille quidem globo lunari per notam obtinente iste autem eodem Lune glob [33] in V constituto. Quod autem angulus res maior sit angulo PEQ quamvis ab arcubus equalibus subtendantur sic declarabitur. Cum Ducatur PY et QR equales alternos angulos continebit equales unde et per 20tam[?] tertii duo unde et duo arcus YR et RS equales habebuntur. Copuleturque Y cum E per lineam YE que per 8 tertii equalis erit linee ES. Et per 8 primi angulus RES equabit angulum YER REY qui cum sit maior angulo PEQ, erit angulus quoque RES maior eodem. In summa igitur maxima diversitas motus lunaris propter flexionem epicycli accidens sit quando centrum epicycli quidem est in contactu duorum circulorum ecentrici, scilicet et alterius eum intrinsecus contingentis ac per duo puncta E et N incedentis. Folio 64v [Back to Top] view facsimile centrum autem globi lunaris per computationem in longior propiori longitudine epicycli deprehenditur qui quidem situs aptissimus est ad investigandum punctum flexionis in diametro eccentrici situm; quamvis ne is quidem situs omnino contemnendus est sit qui Lunam auge epicycli statuit. Quanto autem ab magis ab illis locis recedetur, tanto fallatior erit inventio flexionis; fieri enim oportet ut si quid \ forte / per inspectionem instrumentalem preteritum pretereatur, id sensibilem de circumferentia epicycli sibi vendicet portiunculam. Unde et in comprehensione arcus PQ S et deinceps anguli PBQ, id est EBN error notabilis admittetur. Ex cuius quidem anguli proportioneque rectarum notitia una cum angulo BEN lineaque BE, longitudo linee EN atque tan postremo situs puncti N inquiritur. Iam tandem Ptolemei mentem intelligere poteris has scilicet duas diversitates secundam et tertiam habere crementa et decrementa contraria: hec est quando epicyclus Dum enim epicyclus quidem p ecentrici propriorem longitudinem occupat: luna autem contactum alterum contactuum secunda diversitas est maxima ut supra ostendimus. tamen et tunc tertia que ex flexu manat quoniam cause eius non sunt, nulla est. Dum autem epicyclus quidem in su contactu ecentrici et circuli interioris me superius dicti statuitur; Luna autem in altera longitudinum extremarum fuerit, tertia diversitas propter fluxum eveniens maxima est, secunda \ vero / nulla quoniam eius cause tolluntur. Huic negotio diutius forsitan quam speraverens[?] immorati sumus non quo Ptolemeum emendaremus asserentem huius diversitatis tertie locum esse in distantie 90 graduum utrimque á longitudine longiori ecentrici; nam ad inventionem inveniendum punctum flexionis situs ille ad unguem non est cognitu necessarius; verum ut peritiam expositoris nostri paulisper detegeremus non qui non modo Ptolemeum non declarat, verum etiam pro solita sua tergiversatione ad frivoles inanes et confusas refugit sententiolas. "Sola, inquit, differentia que penes solarem inequalitatem, id est, que capitur per distantiam Lune ad Solem (non enim Sol causa eius est, sed ipsa distantia Lune) facit ut ipsa Luna in aliis eccentrici partibus fiat." Hec ille. Quid queso sermonis hoc est? Nonne per inequalitatem solarem aut vel aut accipienda est differentia que inter motus solares medium et verum invenitur, aut ipsemet verus Solis motus? Atqui neutrum Folio 65r [Back to Top] view facsimile horum presenti negocio subservit; verum ex intercapedine mediorum dumtaxat locorum Solis et Lune res agitur. Tu autem de differentia loqueris que penes solarem inequalitatem animadvertitur, quasi inequalitas solaris huius secunde inequalitatis sive diversitatis lunaris causa sit. Sed \ inepte / exponendo tesipsum fugis ad differentiam que capitur per distantiam Lune ad Solem, propter quam quidem si ex mediis luminarium locis collectam surgat differentia secunda que ad eccentricum refertur. Subiungis enim eam differentiam facere ut ipsa Luna in aliis ecentrici partibus fiat perinde quasi causam ex effectu pendere autumans. Non enim hec diversitas secunda instar cause statuit epi sistit epicyclum in aliis atque aliis eccentrici partibus; verum ex epicycli alio et alio inventum[?] situs situ tamquam ex causa occasionali Ptolemeo autore inquiritur hec secunda diversitas. Sic dum Ptolemeum exponens conaris[?] qui paulo obscurius non omnino absurde talem diversitatem tali [34] secunde diversitati á Sole cognomentum \ deducit / accommodat ad confusum \ bone vir / inversum et falsum enuntiationis genus detorqueris; et ignorantee vicio quod plerisque omnibus obiectare audes digne \ venis[?] [35] [36] / arguendus is; \ venis[?] / [37] [38] \ ut inferius calumniaris / non illi qui erraticas fixas in epicyclis asseverant et epicyclos rotari in ecentricos. Sed producan proferantur \ in medium / verba expositoris que super capitulo Ptolemei tertiodecimo apud finem effudit in iuniores quosdam astronomos qui profundissimis exerciti meditationibus ut commoditatem ac decus orbium \ corporum / celestium servent ne per motus suos tam multiplices quam varios scindere sese aut penetrare instar fluxe et instabilis materie videantur omnia orbium simulacris exprimenda censuerunt ne quos vacuus in re regione tam excelsa inveniretur locus, quod nisi fieret, tota excogitatio ecentricorum et epicyclorum inanis somni speciem habere videretur. Quis enim arbitraretur \ Hec continua [39] / intelligentias tam tenuibus circulis in sidere appropriata quadam lege in sidere ut eos moverent, tota et amplissima spatii celestis reliqua parte deserta? Expositor iste postquam enumeravit varias distantias Lune ad terram propter ecentricum et epicyclum accidentes: "Quare," [40] inquit Folio 65v [Back to Top] view facsimile [41] "quamvis ignorantia eorum qui dicunt erraticas fixas esse in epicyclis, et epicyclos rotari in eccentricis neque mutare locum sed totum motum fieri per eccentricos, et inequalitate multiplici presertim in Luna, et varietate motuum, et maxime longitudinis motu redarguitur, tamen hinc etiam exibilari potest. Nam varietas aspectuum diversitatem distantiarum ostendit, et distantiarum diversitas non in eodem loco rotari epicyclos sed ferri per longitudinem demonstrat." Hec ille pro bile sua in mino recentiores videtur iactare astronomos. Veteres enim ab [42] [43] Hipparcho non solum ad Ptolemeum, verumetiam ad *Arabos mathematicos quicumque astronomiam eccentricam amplexi sunt de circulis simpliciter et subrudi [44] ut ita dicam modo mentionem fecere: ad nihil aliud spectantes nisi ut diversitates motuum celestium quodam suin medio convi convenienti servari possent; imo potius ut ille ipse diversitates per numeros quosdam \ pronuntiari / previderi possent, cuius rei indicium est quod principes huius artis et in primis Ptolemeus ae á demonstrationibus linearibus e vestigio ad calculum transire solitus est, nil prorsus vel prorsus vel de polis vel de axibus motuum disserendo. Posteriores vero solertius et intimius ad naturam corporum celestium penetrantes, non solum ecentricos circulos mathematicos profundu tertia dimensione carentes in stellarum delatores \ esse / censuerunt, sed corpora quedam globica quorum varia et mira quadam delatione astra ferrentur. Itaque cum soli auctoritate Ptolemei sol ecentricum solum sortitus sortitus esset, eum intellexerunt non tenuem circulum sed orbem equali cra undique crassitudine qui totam elementarem regionem una cum cor parte celestis spatii quod sub eo est ambiret; in quo orbe duobus sphericis superficiebus concentricis clauso cor solarem globum figi arbitrabuntur ut sol ipse non quasi errabundus per ethereum vagaretur \ regionem /, sed ductu memorati orbis se continentis equali quadam celeritate rotaretur penes centrum suum. Cumque orbis ille centro á medio mundi situ se retro recedat, necesse erit partes eius inequaliter á centro mundi removeri atque idcirco orbem illum in motu suo occurrere cuidam Folio 66r [Back to Top] view facsimile celesti corpori circa se posito et eidem \ quasi / vim inferre per con scissionem aut condensationem: vacuum etiam post se relinquere; spatium ideo spatium quod utrimque á concentricitate defecit, suppleri putaverunt duobus aliis orbibus crass circa \ solis / delatorem solis positis, crassitudine quidem impari sic \ tamen / videlicet ut congeries trium orbium memoratorum mundo cum mundo centrum haberent commune. Hac quidem cursim de Sole narrata sunt [45] . In luna vero In Iove autem, ut exemplo utar, cum alia non sit simplex diversitas, oportuit adiungi epicyclum; nam de eccentrico suo non aliter quam apud solem opinati sunt nisi quod in loco solis posuerunt [46] [47] epicyclum, non circularem qualis in demonstrationibus supponitur, sed orbitum, putantes in ecentrico esse quandam cavernam [48] sphericam in qua globus epicyclicus quantus Iovi debetur constitui posset. Sed et in ipso epicyclo immersum esse crediderunt globum iovialem ;ut sic stella non per se et temere, sed volutione epi globi epicyclici in caverna spherica rotaretur. Et simul epicyclus una cum stella ad motum ecentrici se \ in caverna positum / rapientis circumduceretur. In hunc itaque modum, nisi breviter nimium nimis dixerim, stellas erraticas in epicyclis fixas esse autumant iuniores et peracuti vires, non quo priventur sua circulatione, direct progressione, regressione, accessione item ad terram et re secessione ab eadem \ et diversitateque aspectus et diametrorum visu apparentium mutatione / (omnia enim hec et alia quecumque apparentia commodius per orbicam infe consertionem servantur quam per illam fragilem et indignam circulorum positionem) [49] sed quo continuitas celestis corporis absque collisione ce protrusione, insectatione, densatione, rarificatione, vacuitate et ceteris id genus dehonestamentis deornamentis custodiatur. Ita ut sedes qualis est sedes prime supreme intelligentie apud peripateticos, talem et inferiores quoad eius fieri potest sortiantur. Verum cum hec in scholis nostris dietim agitentur quotidie agitentur quamvis ad ea intelligenda non ne longior sim, breviorem libuit facere sermonem: non enim docturi venimus Folio 66v [Back to Top] view facsimile huius artis inchoamenta quamvis ne ad illa quidem aspirare expositor potuerit, sed ut innocentiam nobilite ingenue philosophantium protegamus ac frivolam linguam huius nugatoris maleditam coerceamus; qui si rite preludia astronomica de motibus et orbibus planetarum spectasset laudaret, probaret potius tam ab reconditas et nobiles meditationes quam obiurgaretur, homo livore et inconstantia scatens exibilandos ac esse censet eos qui monitu Ptolemei inventis priscorum pro sua virili aliquid adiiciunt ut et grati sur videantur ergo maiores et benefici erga posteros; quorum prorsus contraria amplectitur e h iste loquaculus aliene doctrine innidens[?] [50] et posteris quo minus veritatem veritati incumbant viam intercludens quem non modo exibilandum aut explodendum censeam verumetiam pro ingenti innumeris suis ac iniustissimis convitiis excreandum. Nolim autem quispiam mihi succenseat si pro honestate decore astronomici studii, pro innocentia lesorum lesorum hominum, pro iustitia, et pro veritate paulo pral acerbius in hunc nugatorem ferar. nam hac cum nihil Nihil enim satis dignum tot virgiis referri potest tamque crebris referri potest presertim cum ipsemet eas res \ minime didicerit / quarum ignorationem aliis iniuste obiectat. Quod et inferius apparebit ubi circa inferius apparebit ubi expositurus hunc textum capituli quartidecimi: "perspicuum autem est quia quando gradus 9 3′ ab hac, inquit, observatione id intulit ut paulo post quando 7 [51] 48′ gradibus distat a nodo, mediam tunc partem lune incidere: quam distantiam capit in obliquo suo et eccentrico qui centrum epicycli defert. Hec distantia et hic motus non differt á motu longitudinis et motu nodorum; componitur enim ex istis. Est etiam alius circulus obliquus in quo capiuntur arcus latitudinis lune sicut obliquationis solaris in meridiano. Hic circulus per polos orbis lune obliqui ac deferentis et centrum ipsius lune describitur." Hec ille brevia quidem sed errore plurimo referta verba depromit ubi quanta sit hominis peritia circa orbes lunar et polos \ ac motus / orbium lunarium et motus vos[?] o ne discipuli quidem et primis \ novi / Folio 67r [Back to Top] view facsimile [52] planetarum medit celestium motuum contemplatores ignorare possunt. Eam distantiam qua Ptolemeus utitur dicit capi in obliquo luine circulo et ecentrico qui epicyclum defert, quod plane falsum est. Nullus enim motus Lune in ecentrico animadvertitur. Nam nec medius neque verus neque longitudinis neque latitudinis motus; nam etsi sive centrum epicycli \ vel / ad motum eccentrici deferatur vel \ sive / ecentrici circumferentiam pa vestigio suo describat; numuam astronomo cure est quantum in quovis tempore spatium ecentrici itineris peragrarit; unde et con neque computatio ulla que meditatio contemplationum astron ac demonstrationum astronomicarum executrix est ad eum refertur. Verum hec distantia a nodo qua Pto cuius Ptolemeus meminit[?] in obliquo sed concentrico lunari circulo perpenditur aut illinc ad zodiacum usque transfertur in cuius angulo quemadmodum ecliptica quemadmodum orbitam solarem quam linea de centro a centro mundi per centrum Solis exporrecta subsignat; ita et via Lune declinis intelligitur \ circuitu / circulatione linee recte ab eodem mundi centro \ mundi / per centrum globi lunaris educte. In qua quidem obliqua via lune motus Lune long tam longitudinis quam latitudinis qui ad nodos refertus, accipi solet et illinc non numquam ad eclipticam reduci traduci solet nulla differentia sensibili ultro citroque intercedente. Credo equidem si expositor seipsum intelligeret in tam fedos non incideret errores; nam statim quippe qui mox subiungit hanc distantiam et hunc motum non differre a motu longitudinis et motu nodorum verum ex illis componi, quibus verbis significatur hunc motum illic accipi ubi et motus longitudinis et motus nodorum accipi solent accipiuntur quorum certe neuter in eccentrico perpenditur sed in ob concentrico. Itaque manifest dum fluctuanti calamo nimium indulget, sibipsi repugnare non cernitur. Sed quod sequitur inscitiam hominis apertius prodit; circulum videlicet in quo latitudo Lune accipitur describi per polos obliqui circuli ad ac deferentis et centrum Lune. Nam ridiculam hominis dicacitatem et geom demonstrem doctos mihi dari velim iudices et qui geometrie Folio 67v [Back to Top] view facsimile non sint ignari quoniam in mentis acies intra profundum lunaris machine flectenda est. Si itaque talis circulus per polos \ ut ille asserit / de obliqui deferentis incedet et simul per centrum ipsius deferentis ita ut per totum deferentis axem decontineat, sequitur duas maximas lune latitu et contrarias Lune latitudines namquam esse equales nisi aux eccentrici in altero nodorum constituatur; quod est omnino contrarium \ non solum /experimentis[?] verumetiam cor unanimi omnium astronomorum sententie. Hanc autem consequentiam sic producemus. Intelligantur due plane superficies plane superficies deferentis lunaris et ecliptice se secantes communi eorum termino ut veluti res hortatur astronmis placet per centrum mundi eunte cui quidem communi termino linea longi sitque ponaturque centrum deferentis lunaris in parte boreali, sic ut linea longit suc ut diameter eccentrico du duas extremas continens longitudines per orthogonaliter secet terminum communem superficiem dictarum; per qua; accipiatur denique aliud planum per centrum mundi descriptum quod utramque predictarum superficierum ad rectos secet quod is com is deinde communis [?unknown?] superficierum terminus orthongonaliter secet planum quoddam per centrum mundi incedens quod id circo 18a undecimi [53] interveniente utramque dictarum superficierum ad rectos secabit angulos cum que autem centrum deferentis circa mundi centrum rotetur; necessario aliquando perveniet ad iam memoratum planum; sit itaque in eo ad partem borealem ab ecliptica. In eo autem plano describi intelligatur circulus per centrum deferentis et polos eius qui propter hanc d suppositam superficierum sectionem in plano predicto [?unknown?] reperietur; circulus ille exponatur ABCD super E centro eccentrici lunaris descriptus; cuius et ecliptice terminus communis sit BG Hec due sectiones communes sese seipsis sec harum sectionum communis punctus sit G, id est centrum mundi; erit itaque secundum expositorem nostrum arcus DC latitudinis maxime borealis, AB autem maxime latitudinis meridianie quos facile constabit esse inequales, ductis prius duabus semidiametris EA et EC. Nam per 16 primi [54] angulus DEC maior est Folio 68r [Back to Top] view facsimile angulo EGC, id est angulo AGB. Sed et ille per eadem maior est angulo AEG, id est AEB; quare per principium angulus DEC maior est angulo AEB, et ideo per ultimam sexti arcus DC superabit arcum AB, quod quia observationibus repugnat pro impossibili reputabitur? Quod autem in aliis sitibus centri deferentis simile accidere oporteat preterquam dum est in termino communi duarum superficierum ecliptice et deferentis lunaris; demonstratione non eget quoniam ex pre iam dictis si secantium si superficierum habitudines se secantium docte scrutaris. Verum tale igitur inconveniens sequitur si circulum talem per polos et \ supercentro deferentis / centrum deferentis; lunaris descriptum intellexeris. Si vero per polos \ [55]centro deferentis / eius solum describatur (de centro enim deferentis non fit mentio) et per aliud tertium punctum utpote centrum mundi; intelligantur tria talia puncta copulari lineis rectis triangulum planum claudentibus qui per secundam undecimi Elementorum totus in plano uno continebitur, in quo etiam circulum memoratum per tria puncta incedente contineri necesse est Si vero per polos quidem non autem super centro deferentis sed centro mundi describi detur, ita ut latitudines contrarie fiant equales, illud per \ quam / ridiculum apud omnes inconveniens emerget ut ut lu numquam Luna habeat latitudinem nisi in lateram longitudinum extremarum eccentrici constituatur. Cum enim circulus iam definitus sit unicus et idem [56] semper quocumque ducitur fert secum centrum deferentis centrum etiam in in [57] eo etiam centrum mundi semper existit; necesse est augem quoque eccentrici et eius oppositum se… numquam extra ipsum reperiri. Unicum autem talem esse circulum liquet constabit si tria puncta prefata id est duos deferentis polos et centrum mundi tribus rectis triangulum planum claudentibus consulaveris; ille enim triangulus per secundam undecimi [58] in uno plano erit in quo circulus memoratus necessario reperietur. Quod aut Ceterum in eo circulo contineri oportet centrum deferentis siquidem duo eius deferentis poli \ at ideo atque idcirco axis eius totus in quo et centrum deferentis extat suum est / constitutum inveniuntur. Sic nescio errata expositoris in rebus \ quasi / vulgaribus adnotavimus. Sed Folio 68v [Back to Top] view facsimile detur hoc unum imprudentie sue quod per obliquum Lune intellexerit non deferentem con ecentricum sed concentricum mundo que vulgo equantem vocant, ita ut significasse velit circulum in quo capiuntur latitudines Lune descriptum iri per polos obliqui concentrici lunaris sic etenim preverti poterunt duo errores in quos antehac lapsus erat. Iam videamus ut const comparationem lunar latitudinis lunaris ad obliquationem solarem qua cuius suffragio rem rem suam cognitu humiliorem cona faciliorem reddere tentat conatur. Obliquatio nempe solaris in meridiano: ut verbo eius utar; accipitur id est id est in circulo per polos mundo scripto accipitur; qui scilicet meridiano bis diei noctuque coaptatur. Illi autem poli sunt eius circuli scilicet equinoctialis unde obliquatio perpenditur. Quare et circulus latitudinis lunaris si comparatio quadrare debet, per polos eius circuli describendus est, a quo latitudo ipsa computare[?]\ solet / id est per polos ecliptice non per polos obliqui lunaris. Quam pulcre igitur sibi constant undique verba huius hominis loquaculi o lectores benigni iudices equissimi ostensum est quemve fructum omni factura essent sint nisi retundantur, iam satis liquet, quippe que intestino quodam strepitu invicem colluctantur adeo ut alieno nullo externo sit opus adminiculo quo insania inepta expositoris nunc deliramenta conculcentur. Qui autem ratione certa factum esse rationem quesierit cur in circulo in eo circulo accipienda sit latitudo quelibet sit accipienda, qui \ descriptus / per polos circuli unde ipsa latitudo computatur describi rectangularis semper ad eundem est; paucis auscultare velit. [59] Latitudinis \ itaque / vocabulo hic insinuabitur recessus signi cuiusdam dati super posito circulo. Cum autem talis recessus per intercapedines arcuum innumeras possit animadverti ut verbi gratia a capite Tauri ad equin quod ab equinoctiali remotum est ad ipsum equinoctialem infiniti arcus circulorum magnorum produci possunt quorum quilibet recessus … nomen recessum dicit dati signi qualemcumque ab equinoctiali potest continet. Ex tanta autem tanque quilibet etiam parem habet preter unicum qui est brevissimus omnium et ad rectos incidens ipsi equinoctiali \ ad / hunc ergo brevissimum \ solitarium [60] / Folio 69r [Back to Top] view facsimile et solitarium ut def determinatum se convertit intellectus ne \ siquando / ubi ad multitudinem respexerit non magis tantum quam tantum eligere dubitet et si ad certam se figat inclinet magnitudinem non magis dextram quam sinistram assumat. Talis autem brevissimus rectangularis etiam est ad suum transire per polos suppositi circuli Sed hec \ rursus / omnia convertuntur ut si circulus quispiam magnus per polos circuli suppositi incedat arcus ex eo sumptus minor quadrante et ad supposi sumaturque in eo punctus preter polum, qui inter punctum illud et circulum suppositum continetur arcus polum excludens minus est omnium \ arcuum qui / ab eodem puncto ad suppositum ducuntur circulum et rectangularis ad eundem. Quamobrem circulus latitudinis non solum Lune verumetiam quinque retrogradorum per polos ecliptice unde latitudo id est obliquatio solaris \ que et latitudinis speciem[?] [61] habet / circulo per polos equinoctiales incedente accipitur quod \ non aliter / elevatioque stellarum super orizontem in circulis verticalibus qui per polos orizontis incedunt et latitudo regionis in meridiano qui per polos equinoctialis et cetere[?]\ id genus secessiones / in hunc modum \ animadvertuntur / Porro Verum ne prefa predictas enuntiationes suspiceris esse arbitrarias et quasi positivas, breviuscula quadam demonstratione \ eas / roboravimus. Ex signo igitur [?unknown?] C dato ad suppositum circulum magnum AB demittatur CD arcus brevissimus omnium magnorum arcuum ab eo que ab eo ad suppositum circulum deduci possunt. Dico utrumque angulorum apud D consistentium esse rectum, id est arcum CD orthogonaliter perpendiculariter incidere in arcum AB. Arcus autem \ omnes / quos hic tractamus ex circulis magnis maioribus accipi intelligantur. Si enim non est perpendicularis sit A deducator alius tali CE docente Menelao. Erit itaque angulus CDE acutus oportuit itaque angulum CDE fac esse acutum is ergo per Theodosii bre cuius circulus Theodosii [62] \ de spheris / ratiocinante per polos f circuli AB incedet unde et per [63] eiusdem CE erit brevissimus omnium brevior omni arcu sibi contermino qui ad circulum AB deducitur; non erat igitur CD brevissimus quod est contra suppositum. Folio 69v [Back to Top] view facsimile Quid autem expositorem imputerit ad hanc consulam sententiam et ineptam comparationem, non sine profecta audietur re putes Quum Cum in presenti negetur Ptolemeus investiget diametros lune visualem \ apparentes / et umbre visuales per eclipses lunares medias eclipses lunares quando scilicet plurimum quoad fieri potest de facie lunari obscuratum una cum differentia latitudinum quas luna habet in ambabus eclipsibus; sicat quantum quantus arcus circuli magni respondeat differentie puni[?] digitorum obscuratorum et deinde proportionaliter addiscat arcum toto diametro lunari \ subtensum quem vocant diametrum apparentem sese obscurantes / delatum. Plurimum autem obscurationis in unaquaque eclipse particulari fieri solet; non quando circuli sese quorum alterum alter obscurat secundum longitudinem zodiaci coniunguntur sed quando arcus circuli magni ad centra eorum desinens est quam brevissimus tunc enim circulum deficere deficiens circulus deficiens quam propinquissimus est circulo obscuranti atque idcirco plurimum quoad fieri tunc potest obscurari contingit; ille autem brevissimus arcus a centro umbrosi circuli ad obliquum lunarem circulum perpendiculariter incidit; cum enim luna celerius quam circulus umbre \ solarem cursum innitans / moveatur; fieri oportet ut luna accedens ad eum aliquando ipsum pervertat et ideo centrum umbre perinde quasi immotum signum est hoc respectu; quod cum sit extra suppositum circulum obliquum lune et libeat ab eo ducere arcum quam brevissimum ad lunarem obliquum; non poterit inveniri alius preterquam is qui perpendiculariter quoque ad eum incidit. Itaque hec latitudo qua Ptolemeus utitur impresentiarum aptius tribuitur circulo umbroso respectu obliqui lunaris quam ipsi lune respecti circuli solaris, id est ecliptice. Quo autem res illa magis illustretur describi intelligantur duo circuli equales inclinati ad invicem quantitatem \ magnitudinem / [?unknown?] anguli quinque graduum quanta scilicet est maxima lunaris latitudo; AEB quidem per O centrum umbre incedat; circulus autem CED obliquam lune orbitam representet, nodus ad aquilonem ducens sit E. Polus superius circuli AEB sit F qui directe sub polo ecliptice reperitur a quo descendat quadrans circuli magni ad pu O centrum umbre secans circulum CED in puncto H. Si itaque centrum lune in H statuatur iam coniuncti erunt duo circuli Folio 70r [Back to Top] view facsimile secundum longitudinem zodiaci. Utriusque enim locus longitudinalis est punctus O aut aliud in supremo celo ei despondens. Latitudo autem lune borealis arcu HO exprimetur; qui cum non sit brevissimus omnium qui a puncto O ad circulum CED produci possunt consti siquidem angulus anguli apud H punctum facti non sunt recti propter duo brevitatem arcus EO quadrante minoris. Non erit in hoc situ circulorum plurima obscuratio; quandoquidem CE circuli dicti propinquiores invicem reddi possunt. Nam signato polo superno circuli obliqui lunaris per ipsum et punctum O describi intelligatur circulus magnus secans obliquum lune in K ad angulo ad angulos rectos; quo certe fieri oportet teste Theodosio ut arcus OK brevior existat arcu OH omnibusque aliis sibi confinibus obliquo lunari incumbentibus. Si itaque umbroso circulo punctum O tenente, centrum lune in K statuatur, brevissimo intervallo separabuntur atque idcirco plurimam situs ille prebebit obscurationem quippe cuius crementum ex propinquitate circulorum se obscurantium provenit. In media itaque eclipsi hoc est plurima obscuratione distantia centrorum per arcum OK accipitur a Ptolemeo tanquam necessaria proposito suo. Eamque vocabulo latitudinis agnominat portionem circuli \ qui / per polos obliqui lunaris describitur; neque usquam utitur tali latitudine preterquam in negotio eclipsium. Expositor autem noster circulum latitudinis descriptione generali notat eum qui per polos obliqui lunaris et centrum lune incedit et latitudinem in eo deprehensam obliquationis solari ineptissime comparat. Tantum \ preterea / autem interest inter latitudinem usitatam lune in puncto K constitute et latitudinem eius qua Ptolemeus impresentiarum utitur quanta inter duorum arcuum KO et KL differentia reperitur, demisso enim quadrante FL per K centrum lune; erit enim latitudo lune vera, id est arcus KL brevior arcu KO; quoniam minor angulo KOL, id est acuto sub opponitur. Quanta igitur sit hominis \ expositoris / peritia in geometria spherali hinc vel maxime liquet quod eam arbitratur esse habitudinem circuli \ qui scribitur / per polos obliqui lunaris ad eclipticam ipsam unde latitudines accipiuntur, que est meridiani ad equinoctialem unde solaris computatur obliquatio; ille cum tamen ille quidem Folio 70v [Back to Top] view facsimile ad suppositum suum circulum inclinetur. Hic autem ad equinoctialem suppositum erigitur quoniam polos eius complectitur. Verum hec hominis ignorantia si ad etsi expositoris ignorantia tametsi non mediocris sit; collata tamen ad posteras ineptias cum ip veniam mereri videtur qui nam qui circa planarum demonstrationes figurarum vacillat quid nihil mirum si que in elementis geometricis abunde traduntur, nihil mirum si in altioribus ac abstrusioribusque disciplinis fluctuetur; quorum certe utrumque cern profecto utruumque cernere est in expositore nostro qui demonstraturus diametrum \ alicuius / luminaris quam Hipparchus per dioptram investigavit insensibili quodam differre a vera eius diametro; longo verb et pene immenso ut ita dicam verborum utitur contextu ad ostendendum similitudinem duorum triangulorum quod uno ver duos triangulos similitudinem duorum triangulorum quos tamen fere \ quasi non omnino / similes insert quamvis penitus similes octava sexti ratiocinante perhibeantur. Sed libeat queso verba eius tumultuoarias [64] in medium admittere ut si quando vel emendari cupiat vel \ peccata / erroremsua [65] audentius tueri \ pergat / locus con erroris commonstrari queat. In presenti capitulo quarto circa hanc Ptolemei litteram Nam circuli soli lune etc. "Sit, inquit, sphera cuius diameter per dioptram [?unknown?] perspicuitur ACBG, cuius diameter CEI oculus perspiciens D et linee BD et GD contingentes spheram sint radii visus exeuntes a cono D; cuius sphere diameter perspecta sit BHG. Dico quod BHG minor erit quam TEI indifferente quodam. Hec est diameter quam Hipparchus sequebantur per dioptram capta. Verum ut apertius propositum sita coniungatur chorda EG; eruntque trianguli EGH et HGD fere equianguli et similes. Uterque enim similis est triangulo EGD. Orthogonii enim pene sunt omnes hi tres et angulus E idem est in maiore et in minore. Quare angulus D maioris equalis est angulo minoris EGH per 32 primi Elementorum. Similes ergo sunt trianguli EGH et EGD. Sed HGD ipsi eidem EGD similis est. Uterque enim orthogonius est: et D angulus utrique communis. Ergo et angulus HEG equalis est angulo HGD per eandem 32 primi. Similis ergo etiam est triangulus HGD eidem triangulo EGD. Sed que eidem sunt similia inter quoque. Quare EGH et HGD trianguli similes et equianguli sunt. Latera igitur eorum proportionalis sunt per quartam sexti Elementorum. Quare sunt EG ad GD sic" Folio 71r [Back to Top] view facsimile "HG ad eandem GD; equalis ergo est EG ipsi HG. Sed nulla in circulo potest duci linea que sit equalis diametro. Ergo nec BG est equalis TI. Indifferens igitur adeo illud est quo EG linea excedit lineam HG vel in dupla excedit duplam BG ut nec vi demonstrationis quidem colligatur." Tanta verborum colluvione rem exiguam hoc ille aggreditur ut excessum duarum linearum EI et HG sive duplarum TI et BG sensu imperceptibilem ostendat q nec dum illud efficit. Nam ut apertius sua quidem sententia reddat propositum, ducta chorda EG insert duos triangulos EGH et HGD fere equiangulos esse, quos per octavam sexti Elementorum constat non solum inter se, sed etiam toti triangulo EGD omnino similes esse. In mathematicis autem sermonibus quotiens alterum alteri fere vel equales vel simile enunciatur semper aliquid a vero quantulumcumque abest. Duos ergo memoratos triangulos EGH et HGD non prorsus esse similes insinuat. Quos ne natura quidem similiores facere potest. Ut autem hanc imperfectam similitudinem demonstrat, utitur triangulo EGD medio cui uterque dictorum similis est. Quoniam rectanguli pene ut ipse dicit omnes sunt; quasi non omnino sint rectanguli quos tamen rectangulos ad unguem esse oportet. Postquam quatme quod et ipse seipsum arguens sufficetur ubi paulo post interventu trigesimesecunde primi Elementorum duos triangulos EGH et EGD equiangulos esse ostendit quoniam ambo rectanguli sunt et angulu E communem habent. Similiter per eadem media duoas triangulos HGD et EGD concludit similes. Quid itaque delirum impellere potuit ut de similitudine huiuscemodi triangulorum ambigeret m comperire nequeo nisi quod dum initium syllogismi sui textuit elemtna geometrica non ad propositum conducentia non \ dum vidit / didicit tenuit. Sed interscribendum \ didicit / d ad trigesima secundam primi Elementorum confugiens ut grande institutum suum \ quasi grande aliquid / exigeret/exequeretur. [66] O ho expositorem \ luculentem / celegrandum O mathematicarum illustratorem qui in \ in / Ptolemeo interpretando edipode \ edipo / aliquo ad exposiunticulas suas egeret qui ignorantiam suam O hominem \ potius / temerarium qui et peraudacem Folio 71v [Back to Top] view facsimile qui ignorantiam suam Jacobo Antonio Marcello patricio veneto quondam venditam olim venditam, nunc demum Matthie pannoniarum regi redicare non erubuit. Quid usquam importunius, quid iniquius, quid denique abhominabilius hoc monstro potest inveniri? Nempe pro fama, pro populari applausu, pro eternitate nominis quas iam prefatiuncula sua pollicebatur dedecus, risum et interitum memorie suggerit. [67] Sed cum dicendo iniquitas eius equari nequeat \ satis / quod reliquum est indicibus optimis reservamus. Hos ad calcem effutiarum properantibus inantium properantes. Ergo ubi utrumque triangulorum EGH et HGD similem esse triangulo EGD docuit; subinfert per principium eos inter se esse similes quasi tanto apparatu, tanto sudere res digna tandem sit effecta. Und et per quarti sexti latera sua e eorum proportionalia enunciat. Et ubi nescio quibus furiis agitatus in tenebris diu oberravit, postremo in scrobem impudens cadit dum proportionem EG ad GD subinfert esse [68] sicut ut proportionem HG ad eundem GD et tandem EG equalem esse ipsi HG quod profecto est impossibile quoniam decemoctave Euclide per decimumoctavum primi voluminis theorema reclamante. Sic dum post multos labores vix conclusasimilitudine triangulorum EGH et HGD dum latera relativa ngligit collationem ad extremum se precipitat inconveniens obruendus dignus certe qui non modo rideatur sed et ead omni contemptu succultetur. Neque Porro quod sibiungit a sibipsi \ autori suo / mendacium obiectat. Sed nulla inquit in circulo potest duci linea que sit equalis diametro. Iam vero \ quamvis ineper / conclusum est quamvis indpte[?] lineam EG equalem esse ipsi HG. Cumque EG sit equalis et ED \ EI / semidiametri equales sunt/sint, erit et EI[?] equalis linee HG. Quare dupla id est EI diameter circuli duple, scilicet BG equalis insertur. Itaque si verum erat quod enunciabis EG equalem esse ipsi HG, iam in circulo ducta est BG preter centrum equalis diametro. Sic omnia quocumque te ventas omnia collisione quadam reciproca ac continue repugnantia involvuntur etsi omnia que assumuntur \ porro / constarent non tamen ad hoc propositum conducerent. Eadem enim ratio Folio 72r [Back to Top] view facsimile accommodaretur ad quemcumque situm oculi D respectu globi visi \ quocumque intervallum oculi et globi perpectu / Potest autem oculus globo perspecto appropinquare adeo ut puncta contactuum contingeret contactuum \ aliquando / per sextam circuli in globo rese partem distent quorum intercapedo unde et eorum intercapedo id est diameter perspecta que equalis erit latus sexanguli equilateri equabit, quod equidem equale est semidiametro circuli. Quamobrem diameter circuli vera ad diametrum perspectam dupla invenietur et ideo differentia earum id est ipsa circuli semidiameter sensu percpetibilis erit. Quod si constaret lineam DG indifferente quodam superare lineam DH iam tum quasi impromptu haberetur linearum quoque EG et H differentiam esse insensibilem; similitudinem triangulorum EGH et HDG id efficiente. Verum illud assumi non licet nisi longitudines linearum dtudines dicer linearum note essent \ note / sint quorum eas autem nosse non poterit nisi per datam lineam DE una cum angulo EDG absque cognitione linee DE que in quarum certe noticia ex angulo perspectionis dependet. Si itaque res signa quesitu videtur, pone oculum et centrum globi in plano quopiam ipsum \ globum / secante ut communis sectio Theodosio demonstratum [69] fiat circulus ATBG ceteris ut ante dispositis; cum itaque angulus BDG globum solarem comprehendens \ veluti instrumento percipitur / non sit maior 32 sexagesimis unius gradus, erit dimidius EDG haudquaquam maior 16 huiusmodi sexagesimis et item equalis ei EGH sive IEG 16 sexagesimas non transcendet. Quare arcus quoque IG totidem sexagesimas unius gradus non superabit; et ideo reliquus arcus de quadrante arcus GL maior erit quam 89 [70] 43′ cuius sinus rectus maior est quam 59999 posito sinu toto, id est semidiametro EG 60000. Horum autem minorum differentia est unitas; quamobrem differentia linearum EG et GH minor est una particula ex 60000 partibus. Et differentia duplarum TI et BG minor duabus particulis talibus que sit ne sensu perceptibilis aut digna meditatione an non iudicio tuo relinquitur: non enim expositoris officium usurpare decrevimus, sed doctrinam expositoris nostri detegere que et inferius circa capitulum sextumdecimum satis cognosci potest; ubi in hunc textum "Facilis autem hinc intellectu fit. Facilis, inquit, intellectu est solidarum" \ [71]proportionem triplicare est cum ter continuatis terminis statuere / Folio 72v [Back to Top] view facsimile "magnitudinum proportio cognitis diametris earum; demonstratum enim est in 29aund duodecimi Elementorum eam esse proportionem sphere ad spheram que est diametri ad diametrum triplicata; triplicatum autem esse dicitur quod in se bis ducitur ut si dicas bis duo bis octo, et ter tria ter 27." Hec ille. Triplicatum esse dicit quod in se bis ducitur; novam et supervacuam ac prorsus ineptam asserens diffinitionem. Nam si communi vocabulorum usu inniti velimus, triplicari idem dicitur quod per ternarum extenditur sicut multipliari dicimus, quod per multitudinem quopiam augetur. Si vero per metaphoram ut assolet peculiarem \ quandam / presenti negotio triplicationem debet[?] assumere libuerit secundum mentem expositoris in p arithmeticam in proportionibus statuemus quod in auditum et omnino absonum est; additionem enim et subtrationem dividiationem atque duplationem est reperire in proportionibus exercentis [72] quamvis ne id quidem satis idonee si naturam proportionis recte animadvertimus: prope multiplicari artem proportionem per aliam proportionem aut aut seipsum aut aliam proportionem vel duci in seipsam semel aut multiplicari autem proportionem per seipsam aut per aliam proportionem a nemine unquam vidimus. Sed fortasse per proportionem intelligis denominationem suam que scilicet proportionis magnitudinem ex exprimere solet; ita ut proportionem triplicari sit denominationem suam bis in se duci; quid queso habebis dicere de triplicanda proportione irrationali qu cuius videlicet ternum incommensibiles sunt? duces ne demonstrationem eius bis in se? que ini aut quod in proposito se diametri spherarum \ [73]Contra illam demonstrationem demonstratio proportionis quantitas que ducta in antecedentem producit consequentem / ut si in proposito diametri duarum spherarum fue nulla communi mensura participere: dices ne demonstrationem eius proportionis que nulla est in se bis ut sphera triplicatam reddas proportionem? secundo confugies nisi nisi me fallit animus ad eos qui demonstrationem proportionis definiunt esse quantitatem que ducta in ante consequentem proportionis terminum redit antecedentem. Ita ut incommensibilibus, verbi gratia, lineis propositis demonstratio proportionis sue non sit numerus sed alia quantitas que ducta in consequentem producat antecedentem; hec igitur quantitas aut erit linea aut superficies aut corpus cum nulle alie Folio 73r [Back to Top] view facsimile solum namque illa duo genera ad ductionem accommodari possunt. Ductio enim non est nis aliud quam nove dimensionis adgeneratio. Corpus vero ad ductionem activam non spectat quippe quod \ cum / triplici \ ac omnifaria [74] / dimensione constet sicut et linea ductionem passivam ductio autem sit nove dimensionis illatio, sicut et linea ductionem se generantem non admittatur, sed fluxum puncti cuius vestigatio describitur. Si itaque quantitas denominatrix proportionis memorate fuerit linea, ex ea in consequentem ducta nascetur superficies quam impossibile est equalem esse antecedenti, cum ne comparari quidem ad eam possit. Si vero fuerit superficies, ex ea in consequentem ducta fiet corpus quod pari ratione non potest esse equale antecedenti. Qui ergo duplicationem aut triplicationem vel quamvis aliam multiplicationem proportionis date per multiplicationem denomiantionis diffiniunt. Nihil dicunt immo potius ad impossibile se turpiter \ [75] inepte / detorqueant, sequentes puerilem quandam institutionem introductionem que in puerilia quedam rudimenta ad naturam et no proprietatem et noticiam proportionum instar ducentia. Nempe cum proportio non sit quantitas que ast… abstracte quodammodo possit ostendi oculis nisi ad terminos suos indicetur/iudi- imo potius omnino reperiatur, imo verius omnino non sit quantitas sed relatio in quantitate fundata sepe autem usuveniat in methmeticis de duplicatione aut triplicatione et ceteris \ proportionum / multiplicationibus tractandum sit, magistri ludorum mathematicorum discipulos suos ad noticiam proportionum earum rerum introducere volentes propor in primis usi sunt exemplis proportionum rationalium et earum quidem in numeris potis potissimum ut demonstrationibes id est quotiens alter triorum[?] [76] proportionis in altero vel pars aut partes eius continerentur \ two words scratched out / \ numeris quibusdam / ante oculos ponerent. Itaque magnitudinem proportionis usu quodam et crebra memoria creditum est tandem in tali denominatione constituere. Hinc processum est ad collationes proportionum ut propositis verbi gratia duabus talibus utra(!) maior esset, intelligeretur per comparationem denot minorum ipsis proportiones denominantium. Rursus duplicationem itum est et triplicationem ac ulteriores multiplicationes duplicatio quidem proportionis duplicari quidem \ [77] de proportionibus proportionum et item proportionibus proportionum proportionum arguit[?] ridiculum / Folio 73v [Back to Top] view facsimile proportionem diffinitum est denominationem proportionis semel in se duci: triplciari autem denominationem bis in se duci et generaliter proportionem quamlibet multiplicari per quemlibet numerum multiplicari creditum est denominatorem suum totiens in se duci quotus est numerus multiplicationis unitate dempta. Hinc demum ad compositiones proportionum transitum fecerunt factus est transitus. Proportionem enim pomni ex aliis diffinerunt denominationem illius illius ex denominationibus istarum produci et tandem quoque postremo etiam ad proportiones proportionum \ audentius[?] quam probabilius / ventum est. Ita ut proportio denominatio huiuscemodi proportionis non quidem ex propor secundarie non sumpta est ex proportione numerorum denominantium proportiones inter se collatas, sed ex numero ostendente quotiens minorem replicari oporteat ut mario propr subiectarum proportionum inde nascitur. Verbi gratia proportionem proportionis nocuple ad proportionem triplam non dixerunt triplam quam visu denominator minoris ternarius ter in denominatore maioris novenario continetur, sed duplam appellarunt eam proportionem subiectarum proportionum quoniam minori proportione duplicata, id est denominatione eius semel in se ducta nascitur denomiantio maioris subiectarum proportionum. Et si persuasum \ satis certum est / est in [78] [79] proportionibus [80] quoque reperiri proportiones sicut in quantitatibus quod equidem assev asseverare numquam volim quamvis omnes sciole calculatorum hac opiniuncula sint infecte quis prohibent poterit \ unquam / in huiuscemodi proportionum ascensu processum in infinitum prohibere poterit? Nam sicuti proportionum in quantitatibus fundatarum est reperire aliqua proportio [81] ita etiam in prop proportionum in proportionibus fundatarum reperire erit proportiones et illarum rursus deinceps absque statu, proportionum proportiones assignari \ oportebit / poterit Hec \ Illud / non dico \ assero / \ dixerim / tanquam rationem proportiones proportionum impugnantem, acriori enim et firmiori demonstrationis genere eam traditionem destruximus \ opinio / \ extirpare potest [82] vide si ad propositum conducit / verum ut ostendatur vanitas quorundam qui cad puerilibus et caducis plerumque innixi fundamentis diem terunt in huiuscemodi de argutiolis. Ceterum que hactenus de proportionum denominationibus ac multiplicationibus compositionibusque percursa sunt, quamvis ab arithmetico professore haud iniuria probari adduci et pro arbitrio suo definiri atque decerni possunt, quippe cuius disciplina quidem numeralis omnino est \ absoluta / singularisque est enim penitus nulla prorsus externa Folio 74r [Back to Top] view facsimile ope egens \ quantitatis autem ... quandoquidem omnes a se considerate omnes quantitates sunt commensibiles / geometra tamen non modo ridiculus erit verumetiam vanus omnino \ erit / si \ et nequaquam inconstans / quando ad proportionum denominationes tanquam ad asylum confugerit sive proportionum magnitudines sive multiplicationes sive etiam quascumque compositiones quantitatum incommensibilium accommodare poterit si huiuscemodi denominationibus fidere pergat \ cong..re reperit / [83] \ Sed et Euclidem inscitie imprudenterclare[?] insimulabit quandoquidem quinto Elementorum volumini ubi deproposuit [84] disciplinam numerorum que duplicationes triplicationes et generaliter quascumque multiplicationes ac compositiones quasi preambula proportionum de quibus partim in eo libro agitur spectare videtur. / Quod E Euclides geometrice discipline parens sapientius rem animadvertit: ubi duplicationem et triplicationem proportionum definivit si quando tres essent quantitates continue proportionales prime ad tertiam proportionem prime ad tertiam esse prop prime ad prop proportionem duplicatam prime ad secundam. Si vero quatuor continue proportionales subiicerentur, proportionem prime ad quartam esse triplicatam proportionem prime ad secundam, quamvis \ enim / formulam scholastici scholarie \ stice [85] / diffinitionis non servaverit, sed hypothetice potius quam categorice facilitatis gratia sententiam sir decretum suum insinuaverit Unde haud difficile fieret potest tamen quisquis bene intelliget \ rationes compos[?] / diffinitiones con usitatas illinc venari in hunc ferme modum proportionem duplicari est eam bis in tribterminis[?] continuis statuere statui. Triplicari proportionem est eam ter in coherentibus terminis constituere[?]. Du In hunc Proportionem q \ rursus / multiplicari est eam multotiens continuitate terminorum extendere. Duplicata autem proportio respectu alterius est inter cuius terminos medios[?] statuitur communis duabus proportionibus equalibus. Triplicata vero cuius terminis duo medii communes, tribus proportionibus equalibus interponuntur. Sed hec non egent tanta expositione \ profecto non tam obscura sunt / ut ab Euclide recedentem [86] [87] quamvis plerisque omnes a talibus diffinitionibus hypotheticis avertantur inde adeo quod theorematis speciem magis quam usitate diffinitionis specie pre se ferant, quod et circa compositionem proportionum accidere solet. Si enim dicitur \ inquit / fuerint quotlibet quantitates eodem genere quantitates coordinate proportio extremarum ex proportionibus mediarum una cum extremis composita vocabitur. Hec diffinitio etsi mere voluntaria s pro mera voluntate professoris sit edita; videtur tamen redolere de generandi penitioris abstrusam proprietatem \ proportionum / pro \ Passionem / \ conditionem / que potius demonstranda more theorematis quam ab intellectu Folio 74v [Back to Top] view facsimile simpliciter et apprime sumi debeat \ summenda videatur /. Itaque cum diffinitionibus mathematicis perinde quasi principiis utendum sit in tali diffinitione autem memorata non nihil p ab intellectu remotum et demonstratione media egens latere videatur negligi cepta est ea difinitio negligi cepta est. Hinc Longum esset narrare quos \ quantosque presertim latinos / viros \ fundi / ea de causa in geometria deficere contigetur qui etsi geome discipline illius illustrande gratia expositorio numere functi sint; tot tamen tantas tamque fedas intricationes fecerunt ut non nullis calum materibus prebita sit occasio lacerande geometrie quippe ubi principium quod de una racta duabus incidente trao statuitur cuius ut eius adminiculo equalitas coalternorum angulorum si quando d re ostendatur si quando recta quepiam duabus equidistantibus inciderit obscurius et ab intellectu remotius esse clamant quam conclusionem ex ipso demonstrandam. Quod quidem apud alios inter petitiones petitionbus geometricis adiungitur; alii vero ab utrisque prorsus excludunt reliquis principiis contenti sed mutata diffinitiones equidistantium linaerum. Quid de angulo contingente proportionalium: quas alii quidem longo verborum volumine \ involucra / et multo sudore laborantes per similes equimultiplicium proportiones diffiniunt proportionalitatem scilicet per proportionalitatem id est hoc est idem per seipsoum diffinientes. Alii vero eam diffinitiones geometrice coninquinamentis[?] expurganidsque contagionibus alibi plenius differendum est ne diverticulo longiori recessisse ab non[?] stituto videamur. Satis erit impresentiarum ruditatem expositoris tetigisse \ promulgasse / circa proportionis triplicationem; que non ut ille arbitratur in geometria per denominationes accipienda est sed per interpositionem duorum adiunctionem duorum terminorum ita quod in quatuor quantitatibus coherentibus tres redd fiant equales proportiones. Quod ut apertius intelligatur sunt fiat; intellige duos luminarium globos AB quidem solis, CD autem lune. Diameter solis sit AB, lune autem diameter CD, quibus subiungatur tertia linea proportionalis EF; itam itauque proportio AB linee ad CD duplicata est; rursus subiungatur alia proportionalis GH, ita ut quatuor linee AB, CD, EF et GH sint co fiant continue proportionales; iam proportio AB linee ad CD tri- Folio 75r [Back to Top] view facsimile plicata est et inde inde emersie proportio ab linee ad GH. Quando itaque dicitur proportionem spherarum propositarum esse diametrorum suarum proportionem triplicatam non aliud significatur quam quod proportio globi AB ad globum CD est sicut linee AB ad lineam GH. Sic ceterum proportionem circuli AB ad circulum CD esset; sint diametri AB ad diametrum CD proportionem duplicata; non est aliud quam proportionem circulorum esse sicut line circuli AB ad circulum CD esse sicut linee AB ad lineam EF. Hec et alia multa latuisse expositorem crediderim non quod res tam tenues addiscere nequierit sed quod situm[?] suam malidecam et contumeliosam sed quia quod ad maledicendum propensior fuerit adeo ut \ ad questum inhiantior (?) aut omne studium suum / omnesque vires suis ad calumnie e texendis calumniis [88] impenderit. \ Nempe illud / quod vel ex eo manifestari potest quod paulo inferius eos stomacho suo perversissimo insectatur qui distantias stellarum \ luminarium / a terra in numeros miliariorum et cubitorum resolvere connatur: nesciens aut ignorans utique aut inforare se fingens quod moderamine et qua conditione illi enun huiuscemodi enunciamenta accipi debeant. Verba huius hominis insidiosi super hac Ptolemei littera audiantur super hac Ptolemei litteram: "Qui vero est a tribus duobusque. Diameter lune, inquit, ponitur unus et cubus eius unum; diameter terre 3 24′; Diameter solis 18 48′ proxime; viam enim tradit ac ideo parvas differentias relinquit. Unde stultu penitus fuisse videntur qui has distantias et diametros ad miliaria et ad cubitos reducere conati sunt; multa enim pretermittuntur. Nam cum semel quantitas continue non absolvatur per integra sed ad incisionem de? lapsa sit in intuitum non numquam procedit divisio. Si ergo multa \ [89]Notat Alfraganum / secunda et tertia quartaque ac ulterius relinquuntur, quorum quodlibet multo maioris quam miliarium quantitatis est, quid isti narrant quasi plus viderint omnium hominum acutissimo Ptolemeo? Qui prudentissime hominem se esse cognovit intellexitque satis esse homini hac in vita diametrum ab illa et hanc spheram ab illa contineri sciamus. Quare mihi prudentiam huius hominis admirari videtur non esse ad minutissima hec in rebus tam magnis descendendum." Hec ille malignus interpres omnium ingeniorum in eos contorsit admodum inhumaniter qui tantas luminarium a terra \ Item de mediis motibus stellarum Ptolemeus subjecto fecit. Item in numerando ambitu terrestri / Folio 75v [Back to Top] view facsimile distantias in mensuras quosdam exiguas redegerunt non quidem ut iureiurando assevererent tot vel tot esse ad unguem miliaria in proposito quopiam intervallo sed conditione quadam subaudita si intercapedo ipsa \ cum aliis adminiculis / ad unguem esset elicita; tunc demum in ea tot vel to miliaria aut cubitos vel aliud mensure genus complecti enunciarunt. Hanc autem conditionem retinerunt quo res cu dictu mirabiliter redderetur, posse s videlicet hominem fragilem ad intima penetralia celorum quasi per scalas quasdam gradibus cub gradu cubitali distinctas conscendere. Talis enim illecebra cen arbitrabantur discipulos ingenuos magis atque magis ad excellentiam studii mathematici provocatum iri. Non quidem ut Ptolemei me doctrinam extenuarent ut falso suspicaturomne[?] viciator ille autumat, verum potius ut eam laudibus amplioribus accumularent, quandoquidem demonstrationibus eius suppositis tam recondite tamque excelse res investigari; docti pr certe exemplo auctoris qui ex magnitudine solaris anni crassa ut aiunt ita dicam inspectione animadversi motum solis ad medium \ [90]vide Ptolemeum / ad octavum usque sexagesimarum ordinem extendit quasi vero tam minutissime p zodiaci particule ad quopiam comprehendi possent. Adde quod intervallum Solis et Terre semidiametro terrestri ipse dimensus est; qua in re si preteriri potuisse dixerim duas aut plus plusculas terre semidiametros non non deerunt mihi testes gravissimi et et in verum ante omnes Albategnius arabus vir summa modestia et doctrina excellenti quo duos cuius dono abaco astronomico omnes \ ferme / in hunc hunc usque diem schole sunt referte. Is enim ubi defectus luminarium aliis temporibus ac alia magnitudine oculo deprehendit quam per calculum Ptolem eum[?] aicum eliciebantur sepe et multum cogitans undecima fier accidere posset illa varietas, tandem nota[?] nullis motibus instauratis diametros quoque luminarium exactius investigavit indeque fieri potuisse ratus ratus illinc fieri posse ut numeratio Ptolemei[?]\ quamavis argutissimi / propter vetustitatem secutus vestigia Ptolemei eius propriis tamen que per visum deprehendit innixus principiis. Folio 76r [Back to Top] view facsimile rive[?] conclusit 1146 semidiametros terrestres contineri in distantia solis á terra quam Ptolemeus antea posuit Terre semidiametrum complexti 1210 vicibus. Tantum igitur interfuit inter numeros tantorum virorum quantam quater et sexagies terre semidiameter terrestris semidiameter comp quarter et sexagies constructa longitudinem facere potest, que differentia nostra sensibilis ne fit an non indicet quincumque velit. Et si terre semidiametrum in miliaria secueris[?] aut cubitoas \ Etsi / tantam differentia in miliaria aut cubitos secueris, nonne multo longius imo si bona \ facili [91] / pace \ venia [92] / dici potest multo turpius discrepant tanti vir duo duo astronomie principes quam quisquis á Ptolemeo mutuatum solis et terre intercapedinem in cubitos resolvens ab ipsa veritate recedere potest; nam etsi minutie quantecumque unius semidiametri terrestis pretereantur non tamen differentia tamen si qua inter mensorem et ipsam veritatem invenitur unam ne unam quidem terre semidiametrum equare potest. Sed nesciebas bone vir quod telum istud tuum inclementer in in in alia \ stomachose / per invidiam in alios cantor[?] iactum. Longe dignius in teipsum retroqueri posset quippe qui in principio circa principium noni voluminis Ptolemaici [93] rem quasi diurnam patefacturus in eandem vanita stulticiam si ita dici debet incidis ubi semidiametrum terrestrem stasubstivis[?] mensuram qua discerni queant stellarum omnium á terra remotiones. Nam in eo calculo tam vario tamque crebro quot minutias vel omitti vel superaccipi putas? Unde Quocerte fieri oportet ut prius quam ad cell celum pervenias stellatum plusculas terre semidiametros preterieris neglexeris. Qui autem á veritate aberrat in unica etiam semidiametro tot miliaribus profecto miliariis \ solum / aut tot cubitis veritatem fraudat quot in ea semidiametro contineretur \ Notabis eius errorem in eo loco / \ Sed qui plusculas etiam semidiametros terrestres preterit semidiametros is longe remotius á meta superaturveritatis deviat; quare cum illos penitus stultos appellare ausis quod curiosa quadam supputatiuncula ad cubitalem mensionem descendant; tu ipse haud iniuriam stultissimus omnium dici haberi debes qui ne semidiametros quidem terre sub certo numero complecti potes. / Noli ergo deterreri quicumque nota se celestem hanc disciplinam admiraris sectaris, neque remissior fieri in perlegendis priscorum monumentis f potius uná mecum \ et / admirare Ptolemeum peracutum et gratias age ceteris quibuscumque veritatis inquisitoribus, qui etsi … in error ab error a peccata ab errore non semper immunes esse potuerunt, quia tamen homines extremam Folio 76v [Back to Top] view facsimile homini possiblem vigilantiam nobis usui nostro exercuerunt \ impenderunt [94] / laudandi non modo non floccifiendi verum etiam la colendi laudandi et perpetuo extollendi sunt. Sed expositor noster ab hoc officio et gratitudine longe alienus indignum se fecit doctrina priscorum hominum dum maledicendi occasione diligentius quam stu discendi commoditatem implexatur \ exquirit /. Adeo enim perpetuis delectatur conciniis ut facile credas hominem \ tam / perversum calumniislumnie magis quam expositioni studuisse, quod in ex commento quoque inferiori quoque capituli decimi septimi potest tunc cognosci; ubi paulo post initium: "In aliis, inquit, superioribus propter minimam distantiam a terra et propinquitatem ad zodiacum nulla diversitas potest inveniri. Si ergo semidiameter terre diversitatem aspectus non variat in superioribus sole, miror quod quidam miliarium etiam unum distante illorum invenire se potuisse crediderunt." Quod remotio vicinitas Remotiones stellarum supra solem decrementum, bone vir, non sunt investigare per diversitatem aspectus earum: nulla enim talis est s que sensus percipi queat. Sed per remotionem solis a terra que \ quidem / ex diversitate l non aspectus non sua sed lunari aliis coassumptis adminiculis est elicita. Cum autem remotio solis maxima sit, minima remotio Martis interiectis utriusque stelle ut assolet semidiametris iam per quendam transitum minima Martis remotio innotuit; est autem ipsa eadem remotio respectu ad semidiametrum eccentrici martialis cognita, cuius etiam etiam respectu maxima Martis remotio declarata est: fa sic proportio duarum remotionum Martis data est propter commensibilitatem quoniam semidiametro eccentrici commensurator tradu perhibentur; facta itaque traductione huius proportionis ad alios terminos quor[?]unus[?] quidem not iam notus est scilice videlicet remotionis minoris ad semidiametrum terrestrem collate, erit et reliquus terminus, videlicet remotionis maioris, eodem respectu cognitus. Rursus maxima Martis remotio una cum semidiametro planete e minima Iovis supponitur; unde facto transitu su simili transitu ad remotionem Iovis maiororem(!) pervenietur. Et ita consequenter donec ad celum ascendetur stellatum. Iam vero de m resolutione quidem immutiori in miliaria quoniam superius tr ex sue aliunde liquet, silendum de insolentia autem commentatoris paulo amplius loquendum qui sive dormitet sive oblivione laboret argumentatione [95] Folio 77r [Back to Top] view facsimile proprie succumbit o obnoxius est. Nam si remo in remotionibus stellarum supra solem positarum miliaria ideo comprehendi nequeunt, quia diversitates aspectu nulla in eis per visum comprehendi potest unde remotiones stellarum addiscuntur, quomodo iactabundus ille in capite noni voluminis remotiones talium stellarum ad terre semidiametrum conferre potuit, quandoquidem si solida est argumentatio remotiones ille comprehendi non possunt nulla diversitate aspectus existente? Hactenus de maligna expositoris opinione adversus eos quid studium astronomicum decorare visi sunt; nunc \ obscenum eius / commentioni eius vanamque eius dicacitatem quibus litteram Ptolemei capituli sequentis obscuravit claram admodum nullaque interpretatione egentem obscuravit: [?unknown?] Ptolemei verba hec sunt: Sit ABGD eccentricus lune circulus circa centrum E et diametrum AEG in qua centrum zodiaci circuli sit F, protractaque BFD supponatur rursum uterque angulus AFB et GFD talium 60 qualium quatuor recti sunt 360, quod accidit si distantia quando quidem centrum epicycli fuerit in B puncto 60 graduum sit, quando vero in D graduum 120 coniunctisque lineis etc. Hic ex angulo AFB, id est EFB supposito et data proportione semidiametri eccentrici BE ad eccentricitatem queritur utraque linearum BF et FD, quibus centrum epicycli in subiectis sitibus a centro zodiaci removetur. Quod per quam facilimum inventu est cuique vix mediocrem habenti triangulorum disciplinam; blaterator [96] autem iste pro solita sua temeritate synceram Ptolemei dictionem non tam explodit exponit quam obtenebrat, advertens duos eccentrici arcus AB et GD quorum notitia neque necessaria est neque utilis impresentiarum siquidem magnitudines angulorum suppositorum non desinunt neque secundum eos perpenditur remotio epicycli ab altera longitudinum extremarum eccentrici. Verum ne per acerbitatem causari reum videar; audiatur homo iste: "Uterque, inquit, angulus 60 graduum suppositus est; et quoniam in centro zodiaci sunt ideo in circulo qui per medium signorum est equales arcus continent; quoniamque omnis motus in eo consideratur. Idcirco cum anguli oppositi qui sunt in F per 15 primi Elementorum sunt equales; arcus GD dicitur esse equalis arcu AB" Folio 77v [Back to Top] view facsimile "Nam si uterque angulus est 60, necessario uterque AB et GD 60 eorundem est si eius circuli sunt cuius F centrum est. Sed punctum D distat ab A maxima longitudine 120. Necessario ergo DG reliquus arcus est reliquorum ad semicirculum 60, referendo semper ad zodiacum quo motus omnes referuntur." Hec ille. Sed quid queso opus erat ostendere duos arcus AB et GD esse quales? Cum ipsi neque equales esse possunt, neque proposito Ptolem auctoris conducant. Atqui eos arcus inequales esse ne ipse quidem nugator si non sanus sit inficiabitur. Unde et caute loqui volens enuntiationem equalitatis non sibi sed nescio cui asscribit(!) arcus inquit GD dicitur esse qualis arcui AB. A quo obsecro illud dicitur nisi a teipso qui hac atque illac fluctuaris. Velles quidem concludere sed non audes propter diversitatem centrorum E et F. Nihilominus ita nebulas tuas de arcubus eccentrici \ con / texis ut et Ptolemeum de eisdem locutum esse videatur. Siccine clarissimus ille mathematicorum exponendus erat? Ita m sydera discipline syderalis amatores introducendi sunt ad Ptolemeum intelligendum? Ubi tu pedem sistere dubites discipulos certi quicquam prendere arbitraris. Verum ex hac tua fluctuanti et iniqua expositione non tantum incommodum lectori accedere puto, quantum ex iis que super capitulo vigesimo confudisti: ubi de triplici diversitate aspectus differens neque teipsum intellixisti neque alios docere potuisti; nihil illic constantis nihili certi traditur. Sed quemadmodum musca in telam incidens aranee diu ac multum susurrans expedire se nequit verum ad mortem usque, ita \ ubi / in hanc diversitatum mate sermonem descendisti nihil preter adeo irretiris ut nihil preter inanem linguam mente procul absente \ posita / [97] movere possis. Audite, queso, iudices equissimi, delicta huius hominis ignorantissimi ut siquando dignum de eo supplicium sumpserimus iuste ad factum esse confiteamini. Verum quo manifestius errata dua pernoscatis, si qui vestrum res hic impresentiarum tractatas non satis calleant, preambula nostra prius animadvertant. Locum stelle verum indicat recta linea a centro zodiaci per centrum stelle ad zodiacum ipsum extensa. Punctus nanque supremus talis linee pro loco stelle vero apud astronomos accipitur. Apparens autem stells locus est quem monstrat recta á centro oculi per centrum stelle ad zodiacum exporrecta. Hec autem loca semper Folio 78r [Back to Top] view facsimile sunt diversa preterquam dum ste centrum stelle in linea verticali constituitur que scilicet á centro mundi per centrum oculi aut verticem capitis (pro eodem nanque hic reputantur sursum porrigitur) in qua etiam linea utrimque prolongata poli orizontis reperiuntur: in qua etiam linea utrimque prolongata poli orizontis reperiuntur. Hec enim linea cum sit unica tam a centro mundi quam a centro oculi per centrum stelle egrediens in celo non potest nisi unicum offendere punctum quod pro utroque stelle loca diversa sunt, semper in uno et eodem verticali circulo constituuntur. Cum enim due recte locorum stelle monstr indices una cum semidiametro terre id est intercapedine oculi f et centri terrestris, planum \ quemdam / cons claudant triangulum qu cuius planities undique versum excrescens secait mundum sphericum in circulo quodam per punctum verticalem scrip incedente qui ob eam rem co unde et cognomentum sortitus. In eo etiam circulo uterque stelle locus perpenditur quoniam linee recte locorum talium locorum indices in eo predicte sunt. Arcus itaque verum scilicet et apparentem continetur vocari solet diversitas aspectus stelle quoniam quoniam penes per eum arcum \ sensu indice / stella divertitur a loco suo vero. Hanc diversitatem aspectus multifariam invenimus cognomentum et si enim simpliciter absque epitheti diversitas aspectus \ propter officium suum / vocari mereatur; alii tamen universalem vocant quod potentia quadam duas alias diversitates d complextatur de quibus infra disserendum est; alii diversitatem aspectus appellant diversitatem aspectus absolutam, non nulli simplicem agnominant; nos autem quemadmodum plerique omnes diversitatem aspectus in altitudine cognominabimus ut ex hac denominatione \ inde / quoddam officium eius propter insinuetur; ipsa \ namque / est differentia duarum stelle altitudinum sive elevationum super orizontem; vere scilicet apparentisque et simul sc affinitas quedam ad duas reliquas duas innotescat; nam sunt altera quidem duorum reliquarum diversitas aspecti in longitudine; alter autem in latitudine, ita hec diversitas aspectus in altitudine rite agnominabitur, facta videlicet transsu translatione a tribus quantitatum dimensionibus; ceterum cum omnes loca stellarum [98] motus ad lineam solarem rationabilita iuste referantur aut aut in line solari sunt aut ad eam non iniuria reducantur si qua exter stella extra eam fuerit si cuiuspiam Folio 78v [Back to Top] view facsimile stelle locus extra eam fuerit illic reduce solet decreto astronomorum rationabili ad punctum ecliptice quam vicinissimum qui ob eam reductionem locus stelle secundum longitudinem dicitur; arcus autem circuli maioris qui verum stel primarum stelle locum cum loco reductio coniungit qui et brevissimus et ad viam solarem rectus est, latitudo stelle vocari solet. Talis autem arcus si in circulum utrimque excrescat, polos vie solaris necessario offendet. Hinc est quod locum stelle cuiuscumque secundum longitudinem diffinimus eum p ecliptice punctum ste ipso stelle propinquissimum per quem incedit circulus magnus ecliptice polos et centrum stelle complectens; cuius quidem portio inter locum stelle primarium et orbitam solis comprehensa latitudo nuncupatur. Igitur stella duo habens loca p queque diversitati aspectus obnoxia, cum duo in celo habeat loca primaria (sic enim discretionis gratia loquimur) duo quoque \ semper / habebit loca reductitia preterquam dum s unus et idem circulus polos ecliptice complectens utrumque stelle locum er verum et apparentem continet, quod accidit polis ecliptice et polis orizontis una cum centro stelle eundem circulum magnum possidentibus quando etiam locus stelle secundum longitudinem equaliter ab orientali ecliptice puncto et occidentali removetur. Locus itaque stelle verum secundum longitudinem est punctus vie solaris per quod incedit circulus magnus centrum centrum stelle et polos ecliptice continens. Apparens autem locus stelle secundum longitudinem est punctus ecliptice in quo secatur ecliptica á circulo [99] magno qui comprehendit polos ipsius ecliptice et locum stelle apparentium continente. Arcus autem vie solaris hec duo loca seiungens vocari solet diversitas aspectus in longitudine; eo enim intevallo stella divertitur a loco suo vero secundum longitudinem. Ceterum duplici existente loco primario se uterque eorum extra eclipticam reperiatur, duplicem haud iniuria latitudinem stelle vendicabimus veram scilice et apparentem sive visam. Veram latitudinem superius diffinivimus esse arcum. Circuli magni per polos ecliptice et centrum stelle in descripti qui inter verum stelle locum et eclipticam ipsam concluditur. Apparens autem sive visa latitudo est arcus circuli magni polos ecliptice et visum apparentem stelle locum complectentis qui inter apparentem stelle locum atque eclipticam ipsam continetur. Portio autem huius circuli dicti Folio 79r [Back to Top] view facsimile circuli clausi inter duos ecliptice equidistantes quorum alter quidem per verum alter autem per apparentem stelle locum incedit diversitas aspectus in latitudine nuncupari solet. Tanto enim intervallo divertitur stella per visum a termino vere latitudinis sue, id est á parallelo per locum eius verum incedente. Ut autem hec omnia fiant dilucidiora sit centrum terre T, centrum oculi R et centrum stelle S; planities per hec tria centra undique excrescens secet globum terre in circulo QR, spheram autem orbem [100] autem stelle in circulo AO[?]duct ducaturque á centro zodiaci per centrum oculi linea recta \ TA / usque ad firmamentum, que vocabitur linea verticalis. Illuc etiam protenditur due alie, una quidem á centro mundi per centrum stelle que sit TE; alia vero \ RO / á centro oculi per centrum eiusdem stelle. In quocumque itaque puncto linee verticalis TA posueri stellam, locus eius tam verus quam apparens in A [101] puncto cernetur. Sed si eam extra verticalem statueris lineam veluti in puncto S, iam due linee locorum stelle indices ultram centrum stelle disperguntur et ad duo diversa celi puncta [102] p desinunt, quorum E quidem locus verus stelle, O autem locus apparens perhibetur, et arcus EO medius, diversitas aspectus agnominantur. Rursus in alia figura intelligatur A [103] punctus verticalis, id est polus orizontis superius, á quo per E locum stelle verum descendat arcus circuli magni AB qui in precedenti figura repre erat circulus AEO. na Hanc enim secundam figuram spectari oportet perinde quasi oculus extra spheram poneretur aut quemadmodum globus huiuscemodi circulis insignibus in manu gest contemplatoris gestaretur. Locus deinde stelle visus sit O; erit itaque arcus EO sicuti in precedenti figura diversitas aspectus in altitudine p describatur etiam portio ecliptice \ CD / cuius polus borealis P á quo per duo puncta E et O producantur duo quadrantes circulorum magnorum PV et PN; erit itaque V verus stelle locus penes longitudinem elicptice. N autem apparens eius stelle locus secundum longitudinem et arcus VN diversitas aspectus eius in longitudine. Porro per duo puncta E et O ducantur duo circuli minores FG et HK ecliptice equedistantes, qui prescriptos quadrantes secent in punctis I et M; erit itaque arcus \ quidem / EV latitudo stelle vera; ON autem longitudo eius visa sive apparens; tanto enim Folio 79v [Back to Top] view facsimile recessu penes sensum stella eclipticam deserit; arcus autem EI, id est MO, quoniam equalis ei per [104] Theodosii vocaturt diversitas aspectus in latitudine; tantus enim interest inter veram stelle latitudinem et apparentem sive visa. Id ipsum in reliqua quoque descriptione contemplari debes hoc uno paulisper immutato quo latitudo stelle vera [105] et latitudo visa ad diversas ecliptice partes vergunt ecliptica inter duos sibi equidistantes collocata que prius utrumque eorum uni parti sue vel boreali vel austrine vendicavit. Hec paucula libamenta presentis negotii libamenta premittere premonere libuit non quo expositoris munus usurparemus; sic enim diffusius agendum esset sed quo facilius iudicare quisquis posset quanta peritia fuerit commentator noster in his revus que ad motum lune apparentem inter sive internoscendum sive eitam computandum pertinent. Neque has diffinitiones nostra pro arbitrio ut solent primarii artium scriptores conteximus, verum ex sententia et usu Ptolemei atque aliorum de hisce rebus disserentium pluscula hec monimenta decerpsimus, quod quam recte cum mente Ptolemei quadret nisi longior forem, non graverer amplius lucubrare. Nunc demum audiamus psum commentatorem sua verba depromentem ne super capitulo vigesimo: "Ista igitur, inquit, quam iam habuimus est arcus circuli per punctum verticis et centrum luminaris interiectus inter punctum zodiaci, hoc est sectionis ubi lunare est per computationem et punctum circuli per verticem ubi est per aspectum. Diversitas autem aspectus" [?unknown?] \ [106] he tres figure spectant ad precedentia—including the one at top of 80r / Folio 80r [Back to Top] view facsimile "in latitudine est arcus circuli descripti [?unknown?] per punctum orbis signorum ubi est lunare secundum computationem secantis orthogonaliter circulum qui describitur per punctum ubi lunare est in circulo per verticem secundum aspectum et per polos zodiaci qui arcus est inter dictum orbis signorum punctum et punctum ubi secatur dictus circulus orthogonaliter ut dictum est. Diversitas vero aspectus in longitudine est arcus circuli per medium signrum inter prunctum luminaris per computationem et punctum ubi secatur zodiacus á secante orthogonaliter arcuum arcum diversitatis latitudinis." In quibus quidem verbis id primum vicio datur quod diversitatem inalt altitudinis ad zodiacum refert quasi vero zodiacus rationem eius ingrediatur; quod quam falsum sit vel ex inquisitione eiusmodi diversitatis declarari potest exemplo Ptolemei qui per triangulum in trius centras terre, oculi et stelle cuspies suas habentem investigat anc diversitatem aspectus, supposita remotione stelle luminaris á terra una re á centro mundi respectu semidiametri terrestis, una cum angulo quem ipsa eadem remotio continet cum linea verticali. Hanc quippe nempe remotionem servando, mutato dumtaxat angulo distantie a puncto verticali constituit colligit omnes diversitates aspectus quatuor terminorum nihil prorsus ad zodiacum spectando. Atqui reclamabis ter potestatem diffiniendi terminos penes scriptorem arbitrium scriptoros fore; Verum Esto Sed non in voluntate scriptors primarii: non tamen idcirco hanc sibi licentiam licen usurpare potet expositor nisi novos quosdam ad expositionem quod necessarios diffinire cogatur terminos. Ceterum si luna fuer ponatur luna extra eclipticam per hanc diffinitionem luna extra eclipticam ubilibet posita \ supra orizontem / nullam \ prorsus / habebit diversitatem aspectus preterquam in puncto duos ecliptice quadrantes supernos secernente, id est in nonag fine nonegesime gradibus ab orientaliascendente siquando illuc pervenerit. Illic enim … \ aut omnino[?] nullam habebit / diversitatem aspectus \ aut aliquam sed omnino alienam ab ea quam Ptolemeus pronunciaret neque cum ea quantulumcumque convincantem; aut convincantem quidem sed portiunculam eius. Et quando talis tuemet non quam tu dices diversitatem aspectus ea erit latitudo lune visa non diversitas aspectus. / habebit sed non quantum Ptolemeus pronuntiaret; et ea quidem et quam tu dices diversitatem aspectus erit latitudo Folio 80v [Back to Top] view facsimile [?unknown?] lune visa et non diversitas aspectus in circuli altitudinis sed particula eius dumtaxat [107] Primum horum t… sic ostendemus, descripta portione circuli verticalis AB in qua sit E locus quidem lune verus, O autem apparens lune locus exprimatur etiam pars ecliptice CD cui occurrant duo quadrantes PV et PN á polo ecliptice P er duo loca lune inceden producti \ sitque A polus orizontis extra circulum PV, quod semper accidit pre luna vero loco lune nonagesimum ab ascendente gradum non occupante /. Erit itaque V punctus zodiaci hoc est sectionis ubi luminare st per computationem pu in puncto autem O per aspectum existit cum itaque cernitur; est autem V punctus necessario extra arcum AB, cum duo circuli AB et PV diversi sunt in presenti casu; quare nullus erit arcus circuli verticalis per centrum lune euntis, id est circuli AB interiectus inter punctum zodiaci hoc est sectionsi ubi luminare est per computationem et punctum circuli per verticem ubi est per aspectum; assumo verba expositoris ne aliquid externi alieni a diffinitione sua suggestum esse causetur, et ideo nulla erit diversitas aspectus lune, quod falsum et inopinabile est, ne dicam impossibile. Reliqua duo simul ostendemus [?unknown?] si prius eclipticam intelliges CD; circuli autem PAV per polos ecliptice quorum alter scilicet sublimus P esto, per A punctum verticalem, id est polum orizontis supremum et per E verum lune locum atque idcirco per centrum lune productum accipies, ecliptice occurrentium in V puncto. In quo quidem circulo quoniam et verticalis est, locus lune apparens sit primo in ecliptica ponatur, quoniam ita potest accidere et sit V. Cum itaque luminare sit in V puncto sectionis habetur per computationem; est autem et illic locus eius per aspectum; nulla igitur ex diffinitione habebit aspectus diversitatem, Ptolemeus vero pronunctiat diversitatem aspctus EV. Iam denique ceteris manentibus locus apparens sit \ citra eclipticam / in O; erit itaque \ per diffinitionem huius / ne totiens ino deliramenta hominis repetantur, diversitas aspectus OV nihil commune habens cum diversitate aspectus EO[?] quam Ptolemeus tradit preter punctum O. Sit rursus locus lune visus in ultra eclipticam in X puncto, dices igitur arcum VX esse diversitatem aspectus, sed (?) á Ptolemeo accipimus diversitatem aspectus EX cuius VX particula est, et uterque ceterum uterque arcuum OV et VX in postremis duobus casibus latitudinem lune visam sive apparentem representat; tantus enim utrumque \ per aspectum / est secessus lune ab ecliptica unde latitudines emetiuntur \ [108]Hec sua quidem / Folio 81r [Back to Top] view facsimile Hec sua quidem expositor de diversitate aspectus in altitudine depro turpiter effudit; nostra autem in diffinitionem \ eius / ridiculam dicta impresentiarum satis sunt. Nunc ad diversitatem latitudinis transeundum quam verborum insana [?unknown?] falsa quadam vertigine adeo interturbat ut ne ipse quidem sese loquentem intellexisse videatur et C si quid utique dixisse voluerit, videte, queso, benigni ac docti iudices, quonam evaserit. Diversitatem aspectus in latitudine est arcus circuli def quod ut et ut facilior fiat processus ponatur \ verus / locus lunaris E in ipsa ecliptica C, per quem incedat circulus verticalis AB in quo sit visu apparens eius locus O, deinde per puncta et O et E et O describantur duo circuli ad eclipticam orthogonales, id est per polos eius incedentes qui sunt PE et PE. Iam si diffinitio constat [109] , concludetur \ inferimus [110] / arcum ecliptice EN esse diversitatem aspectus in latitudine qui profecto est diversitas longitudinis \ et / non latitudinis. Is enim est arcus circuli \ CD / Descripti per punctum orbis signorum \ E / in quo ubi est luminare secundum computationem secantis orthogonaliter s circulum PO qui describitur per O punctum ubi lluminare est in circulo per verticem secundum aspectum et per polos zodiaci P, scilicet et ei diametraliter oppositum, qui arcus est inter dictum orbis signorum punctum E et punctum N ubi secatur dictus circulus orthogonaliter. Quare manifestissime concluditur per locum á diffinitione arcum \ ecliptice / EN esse diversitatem aspectus lunaris propositu lunaris in latitudine propositi luminaris, quod quam absurdum sit et \ semper / impossibile fit unico casu excepto quando \ scilicet / ecliptica per p polos orizontis describitur ne discipuli quidem artis nostre ignorant. In eo nanque quem diximus solo casu diversitas aspectus in latitudine potest esse portio [111] ecliptice et alias numquam huic igitur scopulo illisus est com expositorculus noster pro sua diffinitiuncula scabra commentaria inqua et penitus eversa; unde si evelli cupiet ad elementa astronomica refugiat necesse est. Quod autem demen talis fuerit mens eius imo potius dementia, vel ex sequenti diffinitione diversitatis aspectus in longitudine liquet. Diversitas vero inquit aspectus in longitudine est arcus circuli per medium signorum inter punctum luminaris per computationem et punctum ubi secatur zodiacus a secante orthogonaliter arcum diversitatis latitudinis. In prescripta Folio 81v [Back to Top] view facsimile igitur figura \ dicit et verum est / arcum EN dicit esse diversitatem aspectus in longitudine et verum[?] cum autem duos eius terminos dicat esse cum autem alterum eius terminum dicat esse punctum luminaris per computationem, id est punctum E; alterum autem alterum autem [112] punctum ubi secatur á secante orthogonaliter arcum latitudinis; secatur autem zodiacus in puncto N á circulo PNO; is ergo insinuatur esse circulus secans orthogonaliter arcum EN qua eclipticam ipsam orthogonaliter secat; elicitur de opinione sua ne dicam mente fuisse quod arcus EN sit diversitatis aspectus in latitudine. Itaque hec diffinitio diversitatis longitudinalis quoniam ad precedentem refertur inepta et auctoris sui similis comprobatur. Nam de scabra eius et ieiuna intricata dictione nihil agimus ne cum grammaticum aut oratorem potius quam mathematicum impugnare videamur; quamvis ad tam irretitas verborum colluviones etiam edipode aliquo opus esset qui sectiones sua eius urg te perperam ingeminatas quomodolibet qualitercumque expediret. Nunc quo abundius ignorantia hominis clareat et quo pacto cervicem pro quemadmodum suo se gladio iugulet, audire libeat hominem nugatorem futilem et nihil preter fedissimas evomentem ineptias. "Que, inquit, ut melius intelligantur quamvis non possunt in plano circuli globorum describi, tamen quoniam non nihil intelligentie hinc capita in hac figura explanabimus, Sir meridianus ab in quo pcuntum verticis sit A; circulus autem per verticem et punctum lune transiens sit AEL; zodiacus sit GF, circulus transiens per lineam et polos zodiaci sit FHL et circulus secans istum orthogonaliter transiens per centrum lune sit HEB; luna in hac figura supponitur esse in puncto E circuli per medium; sic enim et circulus qui per verticem est et circulus qui orthogonaliter secat descriptum per polos orbis sgnorum per eam transibit; luna ergo ponatur in puncto E secundum computationem sed per aspectum in puncto F. Diversitas ergo in circulo qui est per verticem de qua hucusque locuti sumus est arcus HF; latitudinis autem diversitas est BE; arcus vero EF est diversitatis aspectus in longitudine [?unknown?] perspecte igitur latitudinis arcus HE est sed EF etiam latitudinis dicitur. Capitur enim á puncto lune secundum computationem ad aliud punctum maioris minoris ve latitudinis si aliqua per computationem latitudo inveniretur; sed media etiam vocatur inter latitudinem et longitudinem quoniam quamvis rectius ad" Folio 82r [Back to Top] view facsimile "latitudinem tendat tamen etiam longitudini aliquid addit." Hec illa portenta verborum, has spurcissimas et detestabiles effutias provomit quas cum ne ipse quidem intellexerit alit lectoribus tamen declarationis gratia afferre conatur. Ita plerumque nuga nebulas suas intexere solet ut profecto mentem eius quid dixi mentem? Dementiam potius summam vaticinio quoadam explorari oporteat. Et siquidem veritati consona essent enunciamenta sua quamvis per ambages et verborum involucra edocentur, id tamen scabre saltem \ posset / daretur lingue; nunc vero quoniam neque sermo sibi constat neque ad rem facit qui de tam importuno commentere[?]b sentiam non habeo nisi quod aut ignorantissimus omnium aut interscribendum mente captus fuerit vel saltem delirus. Ignorantiam tamen potius obtitisse arbitror quo turpius minus rem ceptam ita ut equum erat lucubraret, quod et ipse subsensisse videtur cum inito[?] declaratiuncule sue excusari cupiens virumimperitie sue [113] velamentum queritat ex globis in plano describi negantibus[?]. Iam quo Ima vero advertendum quo quam pulcre doceat per figuram suam superius descriptam in cuius \ etiam / descriptione \ a seipso / sibipse discrepat. Lunam enim ponit in E puncto circuli per medium, id est ecliptice nihilominus ducit circulum circulum autem qui per polos zodiaci et lunam transit FHL describit preter circulum autem FHL preter punctum E disponit quamvis enim per polos zodiaci et lunam transire insinuet; quem si per E punctum uti volebat describeret non posset effugere quin confiteretur diversitatem aspectus in latitudine esse portionem quandam circuli per medium sicuti supra conclusimus; ut igitur circulus FHH alium quemdam preter circulum per medium sua quidem opinione secare posset orthogonaliter, me in scrobem prius effossam incideret, ipsum circulum FHL preter punctum imprudens v statuit. Quid rursus homo ille blatterat? Circulum HEB per centrum lune transeuntem ponit \ qui / orthogonaliter secet circulum prius FHL per polos ecliptice prius scriptum: quasi alius preter eum qui per medium signorum \ et punctum E / scribitur orthogonaliter in circulum FHL se dici possit; quod certe \ aut / est impossibile aut diversitas aspectus lune in longitudine qua totum circuli quadrantem \ id est 90 gradus / complectetur. SI enim arcus HEB orthogonaliter incidit in arcum FHL necesse est duos polos circuli FHL in circulo Folio 82v [Back to Top] view facsimile HEB reperiri per [114] Theodosii. Cum autem et ecliptica secet eundem circulum FHL orthogonaliter, hec enim orthogonalis sectio reciproca est erit duo quoque poli circuli FHL in ipsa ecliptica necessario constituentur. Uterque igitur circulorum HEB et GEF, id est ecliptica, polos circuli FHL complectitur. Sed illi duo circuli in duobus \ enim[?] / punctus se secant (de circumferentiis eorum loquor) quorum alterum est E punctus puncta igitur sectionum erunt poli circuli FHL quoeum quidem punctorum alterum est E, quare E erit polus circuli FH et ideo per \ 3-letter blank / Theodosii uterque arcuum EF et EH erit quarta circuli. Est autem arcus EF diversitas aspectus in longitudine quod et paulo homo ille confitetur. Diversitas itaque aspectus in longitudine quartam circuli complectitur et illud quidem semper accidet ubi cumque luna constituetur, modo in ecliptica sit et extra nonagesimum ab ascendente. Si autem illud tanquam impossibile arbitraris, impossibile quoque erit esse oportet autecedens und hoc illatum est, scilicet alium circulum \ per E transeuntem / preter eum qui per medium signorum orthogonalem secare circulum FHL. Sed enque subterfugere poteris reclamando aliquos dictorum circulorum esse minores, non maiores de quibus Theodosius loquitur. Quoniam minores illi circuli nihil ad hoc propositum faciunt, ita scilicet quod in eis aliqua trium diversitatum aspectus animadverti soleat. Tanta autem est hominis dementia ut no atis videatur semel in hun cerrorem incidisse quoniam repetit, sstatuendo luna in E secundum computationem sic enim inquit et circulus qui per verticem est et circulus qui orthogonaliter secat descriptum per polos orbis signorum per eam transibit, huic quoque evestigio in aliud labitur inconveniens, "luna ergo inquit, ponatur in puncto E secundum computationem sed per aspectum in puncto F quasi GEF sit circulus verticalis, quem tamen pro ecliptica constituit; locus enim lune apparens per aspectum semper est in circulo vertricali qui per centrum lune describitur." [115] Iam deinceps continue error alius alium gignit. "Diversitas, [116] ergo, inquit, "in circulo qui \ est / per verticem de qua hucusque locuti sumus est arcus HF. Siccine, bone vir, circulum FHL insinuas esse verticalem qui antehac scribebatur per polos zodiaci; circulus autem verticalis presenti negotio accommodandus erat AED. Subdit latitudinis autem est HE; hec diversitas HE nulla est Folio 83r [Back to Top] view facsimile quoniam nullus est circulus per E incedens qui orthogonaliter secet circulum FHL per polos ecliptice lineatum, preter circulum qui est per medium signorum, in quo quidem diversitas latitudinis numquam reperitur uno casu excepto quem supra diximus. Item prospecte igitur, inquit, latitudinis arcus HE est;perspectam latitudinem ut arbitror apparentem aut visam dicit latitudinem. Ea autem non potest esse arcus HE quoniam circulus ille conditione sua describi nequit qui etsi orthogonaliter secare posset circulum FHL per polos ecliptice productum, non tamen in eo latitudo lune apparens rite acciperetur. Latitudo enim qualiscumque in circulo qui \ scribitur / per polos eius unde ipsa latitudo computatur animadverti solet. Restant adhuc quedam intricata et sterilia verba commenti superius excerpti; in quibus nihil nisi stoliditas hominis loquaculi relucet qui ut aliquid de diversitatibus aspectuum sibi omnino ig incognitis disserere videretur maliut per vaniloquentiam in ruditatis sue facere iudicium quin per modestiam taciturnitatem áb [117] erroribus immunus[?]\ cavere[?] / esse \ abstruere /. Dignum ergo quamvis perexiguum \ et de commeritis suis impar / de eo superserunt supplicium quicumque iniuste aliquando \ per eum / ab eo lacessiti sunt. Nescio enim [?unknown?] quo torniti \ correctionis / genere homo tam nefarius trim satis digne possit ultisci \ [118] Lucidari / quandoquidem ne auctori quidem Ptolemeo peperit quem exponere agressus est. Nempe in hoc eodem vigesimo capitulo circa textum ubi Hipparchus primum emendatur tale figuram Ptolemei perverse expressit scilicet ut …ribes malignus quispiam occasionem lacerandi Ptole auctoris habeat. Qualem namque hic vides figuram littere accommodare ausus est in qua etsi arcum quidem AG pro elciptica arcum autem AH pro declivi circulo lune sumpserit, diversitatem tamen aspectus totam id est que in circulare in altitudine ponit arcum DI partem scilicet declivis circuli lunares que utique in circulo verticali ED exporrecto debebat perpendi quandoquidem centrum globi lunaris in D puncto statuitu; hoc itaque unum est quod indignationem meam que ex aliorum iniuriis nascitur partam aliquantisper levat, ut dum hominis \ Hic expone figuram debitam ne quis erroris Ptolemei id accidisse suspicatur / Folio 83v [Back to Top] view facsimile ignari sive imprudentiam sive qualemcum insolentiam in eum etiam virum exerceri videam, qui summis honoribus ingentique gratitudine debet affici, quemque nugator ille exponere conatus est: nihil mirum arbitrari possim si alios Ptolemeo ipso vel iuniores vel inferiores incessere ausit, quod quidem iuste ne an iniuria fecerit rationes nostre satis superque docuerunt. Quas deinceps quoque evitare non poterit nisi prorsus insanum se con con confiteatur interscribendum fuisse; hac enim unica purgatione causam suam tueri poterit. Nam qui in rebus primis oberrat rudimentis quid speres ex eo dotrine ubi ad res paulo difficiliores ventum fuerit? Quam puerili \ enim / se ludibrio exponat commentator ille verba sua inferius producta declarabunt. "Verum, inquit, in situ quo punctum verticis in zodiaco est, quod sub equinoctiali semper in primo climate bis in secundo semel in anno accidit, quoniam circulus per verticem ad unguem tunc vicitur zodiaco circulo qui per medium signorum est; idcirco etc." Dicit punctum verticalem habitantium sub equinoctiali semper esse in circulo \ qui / per medium \ signorum est /, quod tamen non nisi bis quolibet die naturale accidere potest quando scilicet duo puncta que ipsi circulo per ecliptice et equinoctiali communia sunt, id est principia Arietis et Libre supra verticem et cum polo orizontis superno concedunt. In primo autem climate dicit illud bis in anno uno accidere quod profecto quolibet naturali die bis evenire solet. Cum enim illic latitudo habitationis sit minor maxima solari obliquatione necesse est eam tanquam declinationem duobus ecliptice punctus accommodari. Quando igitur alterum talium punctorum ecliptice supra verticem constituitur punctus quoque verticalis in ipsa ecliptice reperitur \ ad meridianum perducitur declinatio tali puncti et latitudo habitationis coincidunt unde et puncta earum terminalia, id est verticale punctum et punctum ecliptice quo in meridiano est et ecliptica est /. Hoc autem quolibet naturali diebus accidit quandoquidem duo sunt puncta talia puncta quorum utrumque in die naturali parallelum suum totum excurrit \ atque idcirco ad meridianum supernum semel pervenit /. In pri secundum autem climate cuius latitudo maximam equat solis obliquationem id semel evenire quolibet die naturali manifestum est quando scilicet caput Cancri in meridiano constituitur; cum enim eius obliquatio sit equalis latitudini regionis, necesse est punctum natura ipsum Cancri principium \ quod in ecliptica est /, tamen puncto verticali coincidere quocirca si alterum eorum id est caput ca quamobrem et punctus verticalis Folio 84r [Back to Top] view facsimile tunc in ecliptica reperitur. Itaque homo ille sub equinoctiali circulo á veritate per augmentum mendacii recessit; in aliis autem duobus locis per defectum illic quidam equinocitali re… est per eclip Causa autem erroris tam manifesti fuit quod ex ludo astronomico somniavit; illic quidem punctum vere talem semper esse in equinoctiali circulo hic autem ide est in primo climate solem bis in anno supra verticem constitui in et in secundo climate semel dumtaxat verum ille; terra cum a pueris etiam animadverti possit possit breviuscula dictione ostensus est. Nunc ad alium paulo abstrusiorem verniamus. Ptolemeus postquam ostendit distantiam lune a puncto verticali non esse eandem cum distantia sua ab eod veri loci sui in ecliptica ab eodem verticali puncto quando luna ipsa latitudinem habet. Earum autem distantiarum excessum non posse maiorem esse quinque gradibus maxime lunaris latitudinis declarare deinceps voluit si quinque tales gradus in distantia lunar lune a vertice \ aliquando / preterirentur quantam a ver iusta diversitate aspectus que per distantiam scilicet lunarem a vertice sumitur aberrari contingeret, querendus igitur fuit locus in circulo verticali ubi quinque gradus plurimum differentie redderent in diversitate aspectus; quem quidem situm Ptolemeus insinuerit esse apud ipsum punctum verticale cum dixit: "Nam quinque maxime differentie artium gradus tot \ id est decem / diversitatis aspectuum sexagesimas in maximis excessibus et minimis distantiis faciunt. In maximis, inquit, excessibus diversitatum aspectus et in minimis distantiis id est luna \ quidem / longitudinem propiorem epicycli, ipso autem epicyclo longitudinem propiorem ecentrici possidente." Quo igitur pacto hec Ptolemei insinuatio roborari et exponi posset ab hoc hominem exponendum fuit. Sed Ille vero pro sua tergiversatione quas nebulas intulerit ut aliquid saltem dixisse videretur iam potestis audire. "In hoc situ, inquit, maximi excessus qui universaliter fiunt in minimis distantiis quando luna est in minima longitudine epicycli ac distantia epicycli et epicyclus in minima eccentrici sunt sexagesimarum 10′ proxime, quod patet ex tabula; quinque enim gradus arcuum habent in ordine quinto 0 [119] 7′ 30″ et in sexto 0 [120] 2′ 5″ que simul sunt 9′ 35″, quibus parum quid additur ex multiplicatione propter angulum; hoc ideo fit quia quinto propinquior est luna ad verticem tanto minus variatur aspectis; est autem tanto propinquior quinto" Folio 84v [Back to Top] view facsimile "maioris est latitudinis." Hec ille. Si ut expositor asserit Dicta si vera sunt quod scilicet maximi excessus universaliter sunt in minimis distantiis, sequitur lunam cum diversa est …positum …scilicet per epicyclum quam eccentricum ipsas differentias diversitatem[?] de quibus hic agitur semper equales esse, quantumcumque luna á verticali puncto removeatur dummodo[?] eadem minima lune distantia servetur, sed nam epicyclum et ecentricum; hoc enim est maximos tales excessus universaliter, id est in omni loco ad omnem situm respectu ad omnem situm respectu verticalis puncti[?] fieri in minimis distantiis lune, quod quam á veritate alienum sit, inferius demonstrabitur. Ceterum cum diversitas aspectis quinque gradibus debita \ in minima lunari distantia / non plene atingit 10 sexagesimas sed sit 9′ 35″ dicit residuum suppleri ex multiplicatione propter angulum qui magnitudinem huiuscemodi diversitatis ex quantitas anguli cuiuspiam augere possit. Constat autem angulos qui circa diversitates aspectuum exercentur haudquaquam spectare ad diversitate aspectus primariam que scilicet in circulo verticali animadvertitur quippe que ex remotione lunari á centro mundi et puncto verticali suam acquirit quantitatem sive in ecliptica sive extra eam luna reperitur. Anguli namque tales diversitati aspetis in longitudine et latitudine dumtaxat accommodari solent. Porro dum ratione [121] \ quadam / dicta sua fultire conatur d hoc ideo fieri inquit quia quanto propinquior est luna ad verticem tanto minus variatur aspectus. Illud quidem verum est sed pro ratione impres cum hic de excessibus diversitatum agatur \ non pr et non precipue de ipsis diversitatibus / sitque demonstrandum eos \ excessus / tanto maiores esse quanto plus ad verticem acceditur, non po dum fa liquet quomodo diversitatibus ipsis ad verticem decrescentibus, excessus continue maiores fiant. Sed et hanc suam frivolam rationem reddit suspectam cum cum subiungit statim subiungit est autem, inquit, tanto propinquior quanto maioris est latitudinis. Illud enim manifeste falsum est luna habente latitudinem meridianam; tunc enim tanto remotior est á vertice quanto maioris est latitudinis; quamobrem latitudo crementum latitudinis maioris lunaris pro causa huius accidentis allegari minime potest cum apud verticem utraque utraque latitudo Folio 85r [Back to Top] view facsimile tam borealis quam austrina lune accidere possit. Nunc demum ne co perpetua et inscissima expositoris reprehenso lectoribus tedium pariat si nihil preter infulsas \ continuas / eius ineptias adnotaverem, de quod supra pollicebar de excessibus diversitatum ma tanto maioribus quantis ad verticem propinquioribus \ ostendendum est / demonstrandum est ut nova et perpulcra huius rei demonstratione animus á continua deliramentorum auditione paulisper requiescat et simul Ptolemei insinuata [?unknown?] sententia roboretur Satis[?] Describatur itaque circulus ABDE super centro mundi F secundum distantiam stelle ab eodem centro mundano, in quo centrum oculi ponatur G ita ut linea FG excurrens offendat in eo circulo punctum verticale A sumanturque \ equales duo / arcus BC et DE eq BC quidem vicinior ad punctum verticale dictisque quaternis lineis a duobus punctis F et G ad ter quatuor angulorum cuspides in quatuor punctis arcuum terminalibus figantur, constat ex iis que superius circa initium quanti voluminis exposuimus penes unumquemque angulorum predictorum accipi diversitatem aspectus ibi illic accidentem Si itaque demonstrabimus excessum duorum angulorum s angulos autem huiuscemodi et idcirco diver ipsis diversitates aspectuum eo maioris fieri quo magis á puncto verticali stella remota f removetur donec ad orizontem perspectuum venitur. Si itaque demonstrabimus excessum duorum angulorum FCG et FBG maiorem esse excessu duorum FEG et FDG iam e mox quoque de excessibus diversitatum idem enunciari licebit. Dico igitur excessum duorum angulorum C et B maiorem esse excessu duorum et E et D. Quod sic demonstrabitur In circulo punctus G preter centrum circuli ABDE sumptus E acceptus est A puncto G preter centrum circuli ABDE sumpto ducte sunt quoatuor linee GB, GC, GD et GE ad terminos duorum arcuum equalium BC et DE, quorum alter, id est BC vicinior est puncto extra centrum capto quod due recte sibi incidentes sint bre- Folio 85v [Back to Top] view facsimile viores duabus que ad arcum DE producuntur que ad arcum DE producuntur; quare per primum sumptum quod circa lineam medii motus solaris disserentes constituimus, \ [122]vide si primum sit an secundi poni oporteat / erit angulus BGC maior angulo DGE et ideo signatis duarum sectionum punctis ideo excessus anguli BGC ad angulum KFC maior est quam excessus anguli DGE ad eundem BFC; est autem angulus BFC equalis anguo DFE per ultimam sexti quando quidem duo arcus BC et DE sunt equales; quocirca excessus anguli BCG ad angulum BFC maior est excessu anguli DGE ad angulum DFE. Signatis denique duarum sectionum punctis O et R per 15 et 32 primi Elementorum duo anguli B et G trianguli BGO erunt equales duobus angulis C et F trianguli COF; quare per principium si an equalibus inequalia detrahantur, excessus detractorum et reliqu relictorum reciproce sumptos equales esse, constabit excessum quo angulus \ BGO, id est BGC / BGF superat angulum CFO id [123] CFB equalem esse excessui duo angulorum C et B. Per eadem quoque media declarabitur excessum quo angulus DGE superat angulum DFE equalem esse ecessui duorum angulorum E et D. Sed erat excessus duorum angulorum BGC et BFC maior excessu duorum DGE et DFE: quare excessus duorum angulorum C et B maior est excessu duorum E et D, quod erat demonstrandum. Ne autem ambiguum videatur angulum BGC mai superare angulum BFC, item que angulum DGE maiorem esse angulo DFE, illuc recurrendum est und et reliqua mutuati sumus. Cum enim angulus C sit maior angulo B, necesse est per principium superius addictum per principium superius adductum erit angulus quoque BGC maior angulo BFC. Neque aliter de duobus angulis DGE et DFE ratiocinandum est huic tandem ut supra adnotavimus concluditur excessus diversitatum eo maiores fieri quo vicinior ad verticem stella fuerit ac demum elicitur \ maximos / excessus talium diversitatum non universaliter fieri in minimis distantiis \ secundum epicyclum et eccentricum sumptis / quemadmodum frivolus ille enunciabat, sed in minimis distantiis tam a centro mundi, id est secundum epicyclum ete eccentricum quam a vertice capitis. Unde et Ptolemeus accepit diversitatem quinque gradibus adiacentem non quatenus ipsi quinque gradus unam distantiam a vertice s representant sed quatenus sunt differentia duorum ut ita loquar distantiarum a vertice quarum una est 5 graduum, altera autem indivisiblis; sic enim loqui cogimur Folio 86r [Back to Top] view facsimile in c… impresentiarum aliquid ad nihil improprie conferentes quo mentem Pto auctoris clarius interpretemur Quamvis autem penitus rem perspiciendum ille arcus quinque graduum sic poni possit ut maior sibi diversitas aspectus debeatur, quia tamen illud crementum fere insensibile est et item talis diversitatis particule diversas usurpant denominationes altera quidem borealem alitera vero austrinam, Ptolemeus \ pro / modstia sua rem magis curiosam quam investigatu dignam neglexit Quod ho quidem ab hoc homine expectandum erat qui expositoris nomine inique sibi usurpavit, rectius profecto cum intertricator quam intertricator quam interpretator agnominandus quippe qui omnem Ptolemei doctrinam adeo interturbat ut[?] nisi ignorantia hominis esset manifestissima putares omnia per summam detractionem aut eversionem dicta esse. Et quod turpissimum est non penitet enim errores suos non numuam repetere solet quasi non satis sit semel peccasse; quin potius in obscena sua dicacitate tantum delectatur ut iterum relabi in pristina deliramenta non erusbescat dummodo per insinuationem quandam eos sor quamvis falso calumnietur qui sententias sue opiniones suas iuste s d condemnaverunt. Sed audiamus verba eius circa finem presentis capituli effusa: "Illud etiam, inquit, sciendum demonstrationis viam qua nos usi sumus ad delcarandum ipsum per extremitates triangulorum angulos et intrinsecos non esse tutam in triangulis sphericis quoniam ut super secundum diximus sphericus triangulus non habet determinatam vim in hoc: sed tres sui anguli modo duobus modo pluribus paucioribus rectis sunt equales sed auctoritate ipsius freti fermius qui hoc quasi in rectis lineis demonstrari posse modo propter situm modo brevitatem arcuum asseruit; parvitas enim arcuum facit ut indifferentes a rectis lineis sunt, quod res quoque ipsa ostendit: iidem enim numeri fiunt si circulos quasi rectilineis triangulis circumferis, iidem si a datis anguli et arcubus addendo ac partiendo ut ipse facere solet ignota inquinas a notis. Ex quibus omnibus confirmatur recte ipsum rectis uti lineis pro arcubus non numquam non quia non potuisset in arcubus ipsis demonstrare sed quoniam differentia insensibilis si neque accumulatur minutarum rerum ac inutilium curiosam inquisitionem ostentationem esse indicabat; hic primum autumat" Folio 86v [Back to Top] view facsimile \ In triangulis sphericalibus equalitas tre ternorum angulorum equalitatem ternorum laterum infert si in eadem sphera sumantur; quod non accidit in planis. Hoc adde / triangulum sphericum quandoque habere tres angulos modo duobus modo pluribus modo paucioribus rectis equale: quasi recti anguli duobus pauciores esse possunt[?] [124] id est numerus aiquis inferior binario. Sed illud leve putamus; esto enim quod dicere voluerit trianguli spherici tres angulos quinque a duobus rectis superari. Iam in errorem intolerabilem labitur. Numquam enim tales tres anguli duos rectos equare aut eisdem minores esse possunt. Sed semper necessario vincunt duos rectos quemadmodum illic ostendimus ubi nugator in hunc errorem primo incidit. Et hic rursus per alia media demonstrabimus non quod necesse sit tam manifestum errorem instauratis rationibus confrun[?] damnare sed quoniam ad sequentia quoque expositoris deliramenta conducere videb ex…denda multum conducte hoc presens theorema. Sit triangulus sphericus ABG quicumque ex arcubus maximorum constans circulorum. Dico tres angulos eius maiores esse duobus rectis. Et si sua cuique arcui corda [?unknown?] subtensa fuerit. Dico ang quemlibet angulus spheralem maiorem esse angulo plano \ sub coniuncto / duabus sibi duabusque cordis contento; verbi gratia in figura presenti angulum BAC spheralem duobus scilicet arcubus contentum esse maiorem angulo BAC plano duabus cordis BA et AC contento. Illud autem benigne Sic brevitatis G causa enunciare decrevimus. Tu vero benigno animo accipias non quidem angulum spheralem maiorem esse plano cum non sint de eodem genere angulorum latera nanque quippe quorum latera sibi nequaquam superponi excopatari possunt verum sic intellige quod arcus determinans magnitudinem anguli spheralis maior sit arcu determinante quantitatem anguli plani si ex eodem circulo aut equalibus circulis accepti fuerint. Que hoc pacto demonstrabimus: Super A puncto f tanquam polo secundum distantiam quantamlibet minorem utraque cordarum AB et AC describitur in sphera circulus cuius arcus \ EF / inter latera trianguli AB et AC comprehendatur. Sitque sectio communis sectio AD quam per Theodosii constat esse diametrum sphere et per [125] eiusdem transire per [?unknown?] centrum circuli EF quandoquidem per polos eius indi incedit. Unde et per centrum eiusdem circuli EF indit ducta est; quod quidem centrum sit G, á quo duo puncta E et F educantur due semidiametri GE et GF que cum sunt Linea igitur GE \ Est et alius modus demonstrandi omnem spheralem triangulum habere tres angulos maiores [?unknown?] duobus rectis Sicut in sphera omnes equilateri trainguli sunt equianguli, ita et omnes equianguli sunt equilateri / Folio 87r [Back to Top] view facsimile secabit cordam AB; cum enim G punctus sit in AD diametro circuli AB, punctus autem E in circumferentia eius, necesse est toam lineam GE esse in planitie circuli AB. Punctus autem E est in arcu portionis circularis AB et G extra eam portionem. Quare GE secat cordam AB quod quidem sit in H puncto. Non aliter ostendetur GF lineam secare cordam AC in puncto qui sit K. Illis sectionum punctis per lineam HK continuatis, ubi demonstratum fuerit angulum HGK maiorem esse angulo HAK, ad portum secure navigabimus. Quod ut expeditius absolvatur excipiamus duos triangulos AHK et GHK ea cum habitudine cunctos uti erant intra spheram, ita scilicet ut suppositor prius triangulo GHK perpendicularis in aerem que sit equalis ipsi GA intra spheram posite et eiusdem notis inscripta; deinde punctum a sublime duobus punctis H et K per duas rectas copuletur; quas quidem penultima primi et diffinitionem linee perpendicularis in superficiem, equales esse oportet duabus rectis AH et AK. Rursus a puncto G ab basim HK trianguli HGK ducatur perpendicularis GL duoque puncta L et A per br[?] rectam AL continentur. Cum itaque per penultimam primi quadratum linee GH equipolleat duobus quadratis linearum Gl et LH, adiecto utrobique corum quadrato linee AG, necesse erit duo quadrata linaeum GH et GA, id est quadratum AH equari tribus quadratis linearum GA, Gl, et L[?]H, id est duobus quadratis linearum AL et LH: sunt enim omnes \ enim / illi anguli AGH et AGL et GLH recti sunt. Unde et per ultimam primi angulus ALH rectus esse comprobabitur. Est autem \ per 18 primi / HG latus trianguli AGH brevius latere AH rectum subtendente angulum. Quare per actavam quinti maior est proportio LH ad HG quam eiusdem LH ad lineam HA; et ideo per smptm traingulorum rectorum quod circa initium tertii introduximus angulus HGL maior erit angulo HAL. Per eadem penitus media constabit angulum quoque KGL maiorem esse angulo KAL unde et per principium totus angulus HGK maior habebitur toto angulo HAK. Iam redeamus ad figuram priorem in qua angulum HGK id est EGF est centum est esse liquet esse maiorem angulo HAK, id est BAC. Angulus autem EGF cum sit in centro circuli p EF per arcum EF determinatur. Folio 87v [Back to Top] view facsimile qui arcus angulus quoque spheralem EAF determinat quandoquidem circulus EF cuspis anguli A est polus circuli EF; hoc autem obscurum et incertum videri non debet q siquidem per modum cum fit sicut arcus EF ad \ quadrantem circumferentie totius / totam suam circumferentiam sicut angulus EAF ad quatuor rectos quod quidem \ unum rectum / ac demum sicut arcus EF ad totam suam circumferentia sicut angulus spheralis EAF ad quatuor rectos. Hec quidem ita in spheralibus per habitudines equimultiplicium roborantur sicuti ultima sexti de planis demonsnratur. Quamobrem angulus spheralis EAF, id est BAC, maior est angulo HAK, id est BAC, plano ad intellectum sperius expositum. Similiter per omnia concludetur angulus spherali uterque reliquorum angulorum speralium B et C maior angulo plano sibi coniuncto. Sunt autem res anguli trianguli ABC plani tres arcus determinatores talium angulorum in centro cens centralium si coniuncti fuerint semicircumferentiam complebunt. Trest autem spherales maiores sunt illis tribus planis un suo quisque coniungato, id est unicuiusque eorum determinator arcus superat arcum determinatorem anguli plani sibi coniungati si ex circulis sumatur equalibus quas tres illi arcus determinatores trium angulorum spheralium si coniungantur semicircumferentiam circuli superabit. Penes semicircumferentiam autem magnitudo duorum rectorum accipitur. Trest ergo illos spherales angulos maio necesse est esse maiores duobus rectis quod erat demonstrandum. Sic aliter habes igitur aliter quam shperius demonstratum cuiuslibet trianguli spherali tres angulos esse maiores duobus rectis cuius tu cui tu contradicere temere \ licet superius / \ [126] Jacobus Cremonensis / contradixisti magis ut Jacobum Cremonensem mathematicum insignem lacesseres quam ut iuventutem mathem astronomie studiosam erudires Talem quod vel ex hoc apparere potest quam Gebrum hispalensem virum peracutum quotiens occasiuncula dari videtur inique accusas qu cuius quamvis barbari ut aiunt si monumnta accepisses multos errores tos declinare potuisses, sed dum doctrina eius stolido \ tibi / non sapit illa seges floccifacere verum obruere velles virum argutum inani verborum colluvione quam hic adno excripsi non quidem dignam que membrane impingatur sed tanquam pres domesticam testem consciam fadissime ignorantie tue. "Miror inquis autem, inquis, quod Geber peculanter ut cetera id" Folio 88r [Back to Top] view facsimile "etiam carpserit presertim cum ipse non ignorantia sed consilio propter indifferentiam fecisse id scripserit; quod eius dico Ptolemei consilium inde quoque corroboratur quod possumus arcubus his cordas accommodare eet extrinsecos atque intrinsecos rectilinearum triangulorum angulos investigare et inventos numeros cum numeris circularium angulorum conferre atque hinc etiam perspicere indifferentiam alterius vie ad alteram." Cur queso Gebrum petulantie accuse in accusas pro eo quod argutius rem illam quam Ptolemeus tractavit? Nonne exemplo ipsius \ quoque / Ptolemei f id facere licuit? Quippe qui Hipparchum a se plerum laudatum et instar preceptoris habitum in tali presenti arcum et angulorum investigatione emendavit. Forsitan non meministi Ptolemeum hortari posteros ut maiorum intentiones non solum emendent sed etiam quoad fieri potest \ sedulo / pro…bus amplient. Tu vero doctrin cum et virum la[?] magnifacere et doctrinam \ eius / capessere debeas, quia forte nimis ab ingenio tuo doctrina sua turbulentum fugit cerebellum tuum, tu ut vices reddas quamvis inique auctorem contemnere pergis calumniari pergis. Sed redeamus ad rem ipsam. Nolim autem in primis hanc de me suspiciuncula cuivis irrepere quod aliquid quantulumcumque contra summam Ptolemei modestiam, prudentiam atque doctrinam opponere ausim, non enim u[?] ita me deus amet, hoc scribendo munus assumpsi ut viro optime merito detrahere sed ut veritatem hostibus suis perotritis[?] emergere faciam. Iam dic, bone vir, quomodo potes per subensionem cordarum Ptolemei modum roborare? Qui numquam servare potes angulum rectum in triangulo plano tribus cordis clauso siquando rectius fuerit propositus in spherali triangulo, planus enim trius[?] necessario quemadmodum demonstravimus minor est recto spherali ad sensum supradictum. Talem autem angulum semper servare et quidem, bene studet Ptolemeus ut redactis arcubus in rectas lineas alter acutorum angulorum notus alterum quoque cognosci faciat trigemisma secunda primi interveniente. Ceterum planus qui eorum spheralium maior erit angulo suo compare plano quem tu pro spherali exercendum censes. pretera Unde etiam hoc elicitur quod datis tribus lateribus trianguli spherali et exinde cordis suis triangulum planum claudentibus; si per notitiam huiuscemodi trium Folio 88v [Back to Top] view facsimile laterum trianguli plani invenire velis aliquem eius angulorum invenienda prius sit perpendicularis \ ad / eum angulum spectans ut ex ad eius collatione ad latius trianguli sibi conterminale angulus inveniatur. Verum quantus non since labore tali elicitur perpendicularis in triangulis rectilineis sed per multiplicationes \ crebras / d scilicet du ac divisiones radicumque extractiones; quos calculos prius quam absolves, decies et sepius \ Geber / pluries inveniet magnitudinem anguli quesiti et quidem exactissime per demonstrationes Gebr artem triangulorum spheralium a Gebro traditam. Tu vero per longum et inanem tuum laborem vix angulum planum assequeris qui quoniam minor est spherali sibi iuncto quem queries … nondum quamvis defatigatus sis veritatem attigisti. Quodsi medi mediam quandam ingredi viam decreveris servando scilicet \ duos / angulos trianguli spherali rectum et alterum acutorum (in iis enim de quibus hic agitur triangulus alter aliquem acutum semper reperiri aliquem necesse est cum semper aliquod trium laterum sit minus quadrante circuli). Verbi gratia si propositus fuerit triangulus spheralis [?unknown?] ABC angulum quidem C quidem rectum, B autem acutum et datum habens et latuis AB datum, velisque investigare arcum AC et deinde arcum suum AC: ne hac quidem via ad veritatem perduceris. Quod sic ostendam: ponatur enim angulus DEF planus equalis angulo ABC spherali ad sensum sepe dictum: linea aut in DE equalis corde AB, clausoque triangulo rectangulo per lineam DF perpendiculariter ad EF descendentem [?unknown?] que quidem DF si non fierit equalis corde AC quam queris constabit hanc etiam viam esse fallacem. Illud autem sic ostendetur. In triangulo spherali sinus \ rectus / anguli ACB recti ad sinum \ rectum / anguli ABC se habet sicut sinus arcus BA ad suum arcum AC, itemque in triangulo rectilineo DEF sinus anguli F recti ad sinum anguli E acuti est sicut linea ED ad lineam DF, cum bini utrobique anguli sint equales erit per undecimam quinti proportio sinus arcus BA ad sinum arcus \ [127]proportionem proportioni equalem esse scribe superius ubi de proportionibus / AC sicut propor equalis AC maior est proportio quam sinus arcus BA ad sinum arcus AC \ quoniam arcus BA maior est arcu AC / quare et eiusdem corde BA ad cordam AC proportio maior est quam ED ad DF; est autem ED equalis corde BA, quare maior est BA corde ad ad AC cordam quam eiusdem BA ad DF proportio. Et ideo per octavam quinti AC corda minor est quam DF. Tu autem per hanc viam invenisti Folio 89r [Back to Top] view facsimile quantitatem linee DF cum discere velles quantitatem corde AC; quare plus quam veritas poscat pro ipso vere accipies, quod volebam demonstrare. Seipsum Assumpsimus Tria autem in hoc processu tria assumpsimus que fortasse non admittes nisi demonstrationibus firmentur. Primum. in triangulo spherali ABC sinum anguli C recti ad sinum B acuti se habere sicut sinum arcus B ad sinum arcus AC. Secundum. In triangulo DEF rectilineo et rectangul sinum anguli F recti ad sinum anguli E acuti esse sicut lineam ED ad lineam DF. Tertium. Corde BA ad cordam AC quam sinum arcus BA ad soinus arcus AC maiorem esse proportionem. Que omnia et quidem universaliter demonstrabimus se prius de terminis ipsis parum aliquid monuerimus. Sinum rectum quem hic brevitatis gratia sinum generali vocabulo dicimus nemo ignorat esse dupli arcus cordam dimidiatam, id est rectum perpendicularem que ab altero termino arcus propositi ad diametro per alterum arcus terminum ducte incidit. Cum autem anguli et arcus quandam habeant cognationem quippe arcus determinare solet angulum si suepr cuspide eius tanquam centro vel polo circuletur et viceversa ex angulo quopiam dato magnitudo arcus nota subintelligetur et quemadmodum tota circumferentia in 360 \ in quatuor quadrantes / ut assolet \ et 360 / gradus equales scinditur ita et qua … universum spatium quod puncto cuilibet sive in plana sive in spherica superficie circumscinditur in quatuor rectos angulo et 360 angulos acutos equales dividitur, qui et gradus angulares haud iniuria nuncupari possunt, hinc est quod per sinum anguli cuiuslibet intelligi volumus sinum arcus angulum ipsum determinantis. Nunc ad tria sumpta singulariter quidem introducta universaliter autem demonstranda acceden properemus. In omnium triangulo \ spherali / rectangulo acutum etiam habente angulum sinus anguli recti ad sinum acuti anguli proportionem habet quam sinus lateris rectum subtendentis ad sinum lateris acutum respicientis. Hoc theorema Gebro demonstratum est sed longe universalius in omni scilicet spherali triangulo sinus laterum duorum laterum quorumlibet eam habere proportionem quam habent sinum angulorum qui lateribus ipsis opponuntur. Cum autem propter m doctrinam huius viri acutissimi malignitas tua pene floccifaciat: alio quam spe usus est demonstrationis formula te urgebimus quam Folio 89v [Back to Top] view facsimile profecto nisi in Ptolemeum quoque etiam senire[?] [128] velis haudquaquam reiicere poteris. Sit itaque triangulus spheralis ABC angulum C quidem rectum, B autem acutum habens. Dico sinum anguli C recti ad sinum B acuti esse sicut sinum lateris BA ad sinum lateris AC, quod sic ostenditur Si quidem arcus BC est quadrans circuli cum triangulus C rectus Circulus BC per polos circuli AC incedit propter angulum rect C rectum Theodosii docente. Si itaque arcus BC fuerit quadrans circuli sui, necesse est B esse polum circuli AC, quare magnitudinem anguli ABC ex arcu AC venabimur et erit idem sinus anguli C recti et arcus BA quadrantis; idem unus denique et idem unum denique et eundem sinum habebunt angulus B et arcus Acl quare proportio sinuum angulorum erit et pr in sinibus angulorum et arcuum eadem proportio repetita habebitur. Si autem arcus BC minor fuerit quadrante circuli, fiat BE quarta circuli et á puncto E exurgat perpendicularis arcus concurrens cum CA sursum porrecto in G. Iam conflata est figura sectoris cuius tu te illustratorem esse iampridem falso iactitabas; erit proportio igitur corde dupli arcus GE ad cordam dupli CA. Cum autem G sit polus circuli BE propter duos angulo binos apud C et E rectos angulos; erit GC quadrans circuli; item propter angulum E rectum et arcum BE quadrantem punctus B est polus circuli GE atque idcirco BD quadra circuli comperitur; quare consequens prime componentis et antecedens secunde componentium sunt equales et ideo pro antecedens prime ad consequens secunde componentium id est corda dupli BA ad corcdam dupli AC et eiusdem compo proportionem habet compositam ex eisdem componentibus; proportio igitur corde dupli BA ad cordam dupli AC. Est autem Corde autem duplorum arcuum eam habent proportionem quam et earum dimidie, id est snus recti dimidiorum arcuum; et ideo sinus GE ad sinum ED sicut sinus BA ad sinum AC. Sinus autem G… GE quadrantis est anguli recti et sinus DE determinantis angulum ABC est sinus eiusdem anguli; quare sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti proportionem habet quam sinus lateris BA ad sinum lateris AC; quod porro si arcus BC quadrantem vicerit sumpto resecto quadranate BE erigatur ut prius Folio 90r [Back to Top] view facsimile EG; duo autem arcus BA et BC exporrigantur donec in puncto F confluant utroque arcuum BAF et BCF semicirculari facto per [129] Theodosii. Iam accepta sectoris figura GEF cuius vertex E non aliter quam antaehac docebitur sinum GE ad sinum DE id est arcus GE quadrantis, id est anguli C recti ad sinum arcus DE, hoc est anguli B, proportionem habere quam que est sinus FA ad sinum AC, arcus autem FA cum arcu BA sinum habet communem, quandoquidem ipsi semicircularem arcuum constituant. Quare et sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti sicut sinus lateris BD ad sinum lateris DE, quod erat demonstrandum. Habes itaque robur primi sumpti explanatum non quidem sa ut arbitror suspectis mediis sed quibus vel ipse quoque Ptolemeus uteretur si tale quidpiam demonstrandum esset. Secun Deinceps ad Nunc secundum univeralem eninciamus his verbis: In omni triangulo rectilineo sinus duorum anglorum [?unknown?] quorumlibet, ea sunt proportione quam habent latera illis angulis opposita. Trianguli ABC latus AB ad latus AC duco eam esse proportionem que sinus anguli C ad sinum anguli B. Sunt enim puto duo predicta latera equalia; factisque centris B et C secundum distantiam utr longitudinem utriusque lateris describatur circulus, B quidem fiat centrum circuli AN, et C centrum circuli AM. Demissa perpendicularis itaque AD ex puncto A ad basim BC demjissa erit sinus utriusque nostri anguli propositi. Sini itaque duorum angulorum eodem existente et lateribus equalibus putr nihil est quod proportiones reddere queat diversas. Rursus [?unknown?] ponatur latus AB brevius latere AC. Extendaturque BA in E ita ut BE fiat equalis ipsi AC. Centris demum B et C ac distantiis equalibus BE et CA lineentur[?] duo circuli equales, AM quidem cento[?] [130] C; EN autem centro B, demittanturque a punctis A et E due perpendiculares AD et EF; erit itaque per quartam primi sexti AB ad BE, id est AC sicut AD ad EF; est autem AD sinus anguli C cui opponitur latus AB; sinus autem anguli B cui c quem [?unknown?] latere AC subtensus est EF, Quare AB ad AC sicut sinus anguli C ad sinum anguli B. Hae c [131] quidem figure usuveniunt neutro propositorum angulorum recto existente. Nam si alter Folio 90v [Back to Top] view facsimile eorum verbi gratia B rectus fuerit exil extendatur BA done fiat BE \ linea / equalis ipsi AC descriptisque ut prius duobus circulis B et describunturque ut prius duo circuli equales centris B et ac distantiis BE et CA equalibus. Erit itaque BE AB sinus anguli C et AE sinus anguli B recti quia semidiameter circuli quare proportio lateris BE[?] AB ad latus BC est sicut cumque BE sit equalis lateri AC, erit AB ad AC sicut eiusdem AB ad BE, id est sinus anguli ad sinum anguli B, quod erat demonstrandum. Tertium autem sumptum hoc tenore genu universali concludetur: Dati propositis duobus arcubus inequalibus eiusdem circuli vel duorum equalium proportio corde maioris ad cordam minoris maior est proportione sinus maioris ad sinum minoris. In circulo ABCK cuius centrum H, diameter vero AK accipiantur duo arcus inequales, AB quidem minor, AC autem maior, quibus corde sue subaptentur et sinus recti BD et CE. Dico maiorem esse proportionem corde AC ad cordam AB quam sinus CE ad sinum BD, quod explicabitur hoc pact. Quoniam corda AC secat necessario sinum BD, fiat hoc in puncto F, á quo ad diametrum AK dedicatur FG equedistans corde AB, que per 13.18 32, 13 et 18 primi brevior erit quam AF atque idcirco per 8 quinti proportio AF ad FD maior est quam GF ad eadem FD. Est aute per quartam sexti AF ad FD sicut AC ad CE, et per eandem GF ad FD sicut AB ad BD, quare et proportio corde AC ad AD sinum CE maior est proportione corde AB ad sinum BD, quod fuit demonstrandum. \ corolarium / Huic demum illud trahitur proportionem arcus maiores ad minorem esse maiorem quam sinus maioris arcus ad sinum minorem esse maiorem quam sinus maioris arcus ad sinum minoris. Cum enim proportio arcuum sit maiore proportione cordarum suarum quemadmodum Ptolemeus demonstravit; cordarum autem proportio maior est proportione sinuum \ [132] principium vide cum proportiones non sint quantitaties / erit et per principium maior proportio arcus maioris ad minorem quam sinus maioris arcus ad sinum arcus minoris. Ratificata sunt igitur quemcumque superius ad confrigendum[?] [133] supplementum tuum introduximus quo scilicet per su lup cordas lateribus trianguli spherali subaptatas rem mirificam pollicebaris et ad ro [?unknown?] firmamentum ptolemaici calculi apprime conducturam Folio 91r [Back to Top] view facsimile Quibus illud quoque subvectendum censemus quod servato angulo reccto quem habet spheralis triangulus si per duas cer quam in triangulo rectilineo quo ex cordis facto non possit esse, si per duas cordas datas angulum acutum alteri earum oppositum rimari velis, neque tunc ad verum pervenies. Ut si in repetita superiori figuratione angulo F trianguli rectilinei DEF recto existente ponatur DF equalis corde AC et DE equalis corde AB: quamvis angulus DFE rectus recti et lineus sit maior rectilineo angulo ACB; is enim minor demonstratus est angulo spherali ACB recto ad intellectum superius expressime, non tamen adhuc angulus DEF qui per viam cordarum invenietur equalis erit angulo spherali ABC acuto qui queritur, quod sic demonstrabimus. Cum enim sit proportio ED ad DF id sicut sinus anguli F recti ad sinum anguli E acuti per secundum sumptum. Proportio autem ED ad DF id est BA corde ad AC maior est quam proportio sinus arcus A BA ad sinus arcus AC, quorum quidem sinum proportio per primum sumptum est sicus[?] [134] [135] sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti; sunt autem si duo sinus angulorum rectorum utrobique equales, quamobrem per octavam quinti sinus anguli E rectilinei minor erit sinum anguli B spheralis; unde et angulus rectilineus minor est angulo spherali; quod erat exponendum. Igitur dum Gebrum sectari dedignaris qui res illas peracutissime pro prosequitur quamvis diu ac multum rudiorem viam tueri studeas, adhuc tamen a veritate diverteris, quod quidem multum ne an parum sit ostendere prolixam nimis videtur. Satis nunc est fu osten \ impresentiarum / commovisse quam quod oleum suffulcimentis tuis impensum frustra evanuerit. Ceterum quid Ptolemeo accidere soleat dum arcubus abutitur tanquam rectis lineis, lucubrare conbimur, non quo tenuitatem tam ingenii sui sbmor notemus, sed quo certius sectator quispiam calleat quatenus huiuscemodi arcuum abusiones tolerari queant. Ad hoc si quando ventum fuerit ad duos numeros de quibus aucipites de quibus ambigitur uter eorum pro quesita quantitate sit accipiendus, quod se in calculis accidit, ut sciatur eum re preferendum esse qui á vero minus recedit; huius Folio 91v [Back to Top] view facsimile igitur rei gratia proponatur triangulus spheralis ABC cuius A C quidem angulus rec sit rectus, B autem acutus sitque animus per duo latera AB et AC nota investigare angulum ABC. More itaque Ptolemei hec duo data latera in rectas conterminuntur? extendantur lineas constituaturque triangulus rectilineus DEF angulum quidem F rectum habens latus erunt DE equale arcui AB et latus DF equale arcui AC. Dico itaque angulum DEF qui per calculum Ptolemei elicitur investigatur \ invenitur / minorem esse angulo spherali ABC qui erat inquirednus, quod sic ostenditur. Proportio ED ad DF est sicut sinus anguli F recti ad sinum anguli E; est autem ED ad DF sicut arcus AB ad arcum AC quandoquidem ille recte istis arcubus equales constitute sunt. Arcus vero AB ad arcum maior longioris ad arcum AC minorem breviorem maior est proportio quam sinus AB ad sinum AC per cordarum tertii sumpti et sinus AB ad sinum AC sicut sinus anguli A C recti ad sinum anguli B acuti; quare maior est proportio arcus AB ad AC, id est ED ad DF quam sinus anguli C recti ad sinum anguli B acuti erat arcum anguli F recti sinus anguli F recti ad sinum angli E quam sinus anguli C recti ad sinum anguli B atque idcirco angulus E minor habetur angulo B, quod fuit exponendum. \ [136] Summan huius et aliorum scribe in fine / Rursus supponatur angulus B notus cum arcu AC eum respiciente \ libeat que investigare arcum AB / exponatur itaque triangulus rectilineus DEF cuius angulus F quidem rectus sit, E autem equalis angulo B acuto et DF recta equalis arcui AC. Dico rectam DE quam Ptolemeanus numerus exprimit maiorem esse arcu AB qui erat investigandus. Cum enim ut prius proportio AB arcus ad arcum AC maior quam sinus anguli C recti ad sinum B anguli, id est quam sinus F recti ad sinum E anguli E sicut linea ED ad DF. Quamobrem maior erit proportio arcus AB ad arcum AC quam recte ED ad rectam DF. \ Datis duobus lateribus rectum angulum ambientibus, quid in calculo Ptolemei eveniet? Vide hoc / Erat autem DF recta equalis arcui AC, unde et per octavam quinti recta ED minor erit arcu AB, quod erat inferendum. Porro manentibus angulis ut prius ex dato arcu AB querendus sit arcus AC; postia itaque recta ED equali arcui AB. Dico rectam DF quam Ptolemei exhibet supputatio mariorem esse arcu AC quesito. Non enim aliter quam prius demonstrabatur [137] arcus AB ad arcum AC maiorem esse proportionem quam recte ED ad rectam DF. Folio 92r [Back to Top] view facsimile cumque iam, ED postia est equalis arcui AB, erit per octavam quinti DF maior arcu AC quod fuit deducendum. In summa igitur quotiens per viam Ptolemei in triangulo rectangulo ex duobus lateribus datis queritur angulus acutus alteri eorum oppositus semper minus vero invenitur. Similiter quando ex angulo acuto una cum latere sibi opposito petitur latus recto angulo oppositum, citra verum sistitur. Dum autem per angulum acutum et latus recto op obiectum angulo; queritur latus acutum \ subtendens / angulum maius aliquid precis ipso quesito latere elicitur; hec ut supra diximus non sint in Ptolemeum quasi subrudem iacta sed potius ad mentis sue interpretationem distinata ut sciatur quando citra ne et quando ultra veritatem prescisam metam; calculus evadat; quamvis differentia admodum parva sit in parvis arcubus. Cum hoc quoque insinuavimus processum Ptolemei non fuisee ut \ qualem / expositor ille autumat per ciruclos ipsis spheralibus triangulis circumscriptos sed per extensionem aut directionem arcuum, et angulorum spheralium in planos traductionem ut expresso triangulo rectilineo et eidem circulo circumducto, conclusion theoremata geometrica una cum tabula cordarum ipsis possent accommodari. Nam et si \ exporatorum habeamus quo pacto / so spherali triangulo cuicumque circulus possit circumscribi, quia tamen passiones elementis geometricis anguli spherales ex per arcus circumscripti circuli eis subtensos determinari nequerent quod quidem in planis evenit, ideo per quam sorte Ptolemeus spherales triangulos presertim su siquando breviusculis essent arcubus in planitiem distendere consuevit; ut quod et vel ex angulis datis innotescerent \ latera tamquam / corde arcuum tales angulos subtendentium \ vel ex lateribus quasi cordis arcus ex arcubus demum anguli patefierent / et huic corde eorum arcuum aut econtra factisque ut assolet proportionum traductionibus anguli et latera sibi reciprocam sibi quandam redderent notitiam prestarent investigandi facultatem.
- See Chapter 4 for the transcription of the preceding lines of this folio. (footnote) [Back to Text]
- Corrected from diximus [Back to Text]
- corr. from diximus, with latter part surviving (footnote) [Back to Text]
- planete inequales (footnote) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- synonym (editorial comment) [Back to Text]
- eiusdem either before or after qui scilicet (footnote) [Back to Text]
- not clear whether diversitas is to be omitted (footnote) [Back to Text]
- original has faint hint of " for weaker-inked marginalium on left (footnote) [Back to Text]
- luminaribus (alternate transcription) [Back to Text]
- Corrected from quantum [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- ! (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- looks like this was originally teritus, with "us" now crossed out (footnote) [Back to Text]
- "a" should be deleted too (footnote) [Back to Text]
- PROOF-read from original to here 9/21/2000 (editorial comment) [Back to Text]
- est (editorial comment) [Back to Text]
- ! (editorial comment) [Back to Text]
- !=o (editorial comment) [Back to Text]
- error scraped away; correction has "blottered" (footnote) [Back to Text]
- verus (alternate transcription) [Back to Text]
- veris (alternate transcription) [Back to Text]
- verus (alternate transcription) [Back to Text]
- veris (alternate transcription) [Back to Text]
- where? perhaps a comment that does not belong in the text (footnote) [Back to Text]
- No quotation marks anywhere here in original (footnote) [Back to Text]
- proofing from original picks up here 9/21/2000 (editorial comment) [Back to Text]
- Corrected from cum [Back to Text]
- Corr from "cum" by overwriting ("c" remains) (footnote) [Back to Text]
- subrudi is prob an adverbial coinage based on rudis, as the phrase that follows hints. (footnote) [Back to Text]
- Corrected from narravim [Back to Text]
- Corrected from posuerunt posuerunt [Back to Text]
- word occurs twice in ms; end of top line, beginning of bottom line (footnote) [Back to Text]
- Used in Manilius, Astronomica, I, 202; also Varro, Lucretius, Cicero (footnote) [Back to Text]
- R’s parentheses (footnote) [Back to Text]
- invidens (alternate transcription) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- MS proofread STP to here 9/21/2000 (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- Note partly canceled, remaining text reads (footnote) [Back to Text]
- "i" very thick, probably changed from iidem (footnote) [Back to Text]
- twice! (editorial comment) [Back to Text]
- Elementorum (editorial comment) [Back to Text]
- The words, rectangularis, paucis and pvelit have all been written over spaces where other words were crossed out; the beginning and ending of auscultare has been "fixed" in the same way (footnote) [Back to Text]
- lowest right mg, catchword, therefore end of quire (footnote) [Back to Text]
- spheram (alternate transcription) [Back to Text]
- A 4-letter space precedes this name and its apperance in canceled line (footnote) [Back to Text]
- 4-letter space (editorial comment) [Back to Text]
- tumultuaia? with what looks like an "s" superscript between the last two letters (editorial comment) [Back to Text]
- Corrected from suum [Back to Text]
- exigeret and exequeretur placed one above the other; neither crossed out (footnote) [Back to Text]
- This passage suggests that Regiomontanus knew nothing yet about dedication to Mehmed; there are references to GT in jail earlier; search "carc" (footnote) [Back to Text]
- Corrected from esse subinfert [Back to Text]
- Corrected from demonstrare [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- At bottom, seemingly unattached (footnote) [Back to Text]
- There is an extra syllable at end as if -cemtis (footnote) [Back to Text]
- No clear reference in text (footnote) [Back to Text]
- sic! For omnifariam—adverb (editorial comment) [Back to Text]
- But with turpiter not c.o. (footnote) [Back to Text]
- terminorum (alternate transcription) [Back to Text]
- A reference (footnote) [Back to Text]
- Corrected from inter [Back to Text]
- inter is unclear (footnote) [Back to Text]
- Corrected from proportionaliter [Back to Text]
- corr from longer cognate, shortened by scratching (footnote) [Back to Text]
- not clear whether follows: (editorial comment) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Corrected from preposuit [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Corrected from recedendum sit [Back to Text]
- recedentem corr by overwriting of recedendum sit; sit is unclear (footnote) [Back to Text]
- Corrected from calumniis texendis [Back to Text]
- Aside? (footnote) [Back to Text]
- Aside (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Corrected from ptolemeani [Back to Text]
- Neither canceled (footnote) [Back to Text]
- Corrected from argumentationem [Back to Text]
- Corrected from balterator [Back to Text]
- posita in mg, with corresponding mark over absente, which is not canceled (footnote) [Back to Text]
- Corrected from omnes stellarum loca [Back to Text]
- Corrected from per circulum [Back to Text]
- Note correction! (footnote) [Back to Text]
- Here the text has á, but this seems to be a mistake (footnote) [Back to Text]
- Corrected from puncta celi [Back to Text]
- Again text has á, an obvious mistake (footnote) [Back to Text]
- 2-3-letter space (editorial comment) [Back to Text]
- Corrected from vera stelle [Back to Text]
- Two diagrams, including one on f. 80r top, with note (footnote) [Back to Text]
- same sign as at beginning of deletion on previous page (editorial comment) [Back to Text]
- Catchwords (footnote) [Back to Text]
- Corrected from constat dffinitio [Back to Text]
- conc not canceled (footnote) [Back to Text]
- Corrected from portiuncula [Back to Text]
- sic! (editorial comment) [Back to Text]
- Corrected from imperitiam suam [Back to Text]
- 2-letter space, probably for book number (editorial comment) [Back to Text]
- No quotation marks in text; my guess from formal considerations (footnote) [Back to Text]
- No quotation marks in text; my guess from formal considerations (footnote) [Back to Text]
- sic! (editorial comment) [Back to Text]
- Here? (footnote) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- gr (editorial comment) [Back to Text]
- Corrected from rationem [Back to Text]
- No particular place (footnote) [Back to Text]
- est (editorial comment) [Back to Text]
- possint (alternate transcription) [Back to Text]
- 2-3-letter blank (editorial comment) [Back to Text]
- Marker? (footnote) [Back to Text]
- Regimontanus’s note to himself (footnote) [Back to Text]
- sevire (alternate transcription) [Back to Text]
- 3-letter blank space for book number (editorial comment) [Back to Text]
- centro (alternate transcription) [Back to Text]
- He, with "e-cedille" (and "c" c.o. (footnote) [Back to Text]
- Aside (footnote) [Back to Text]
- onstringendum (alternate transcription) [Back to Text]
- sinus (alternate transcription) [Back to Text]
- sicut (alternate transcription) [Back to Text]
- Regimontanus’s note to himself (footnote) [Back to Text]
- Corrected from batum [Back to Text]
Notation Key
[Back to Top]- crossed out text indicates text marked as deleted or crossed out.
- Superscripted \ text / indicates additions.
- [?] indicates text was unclear.
- [=text] indicates text was supplied.
- [illegible] indicates text was illegible.
- superscripted [number] indicates a footnote.
- [Diagram] indicates the location of a diagram