← Previous book | Next book →

Book 2 - Normalized transcription

[Notation Key]

Folio 17v [Back to Top] view facsimile   \ Secundus liber / In capitulo quinto secundi libri: "Meridianus, inquit, et orizon quoniam maximi circuli in duo equalia ubique seipsos secant; nam aliter non essent maximi: quod per 14 tertii Elementorum demonstrari potest. Nam ut longissima linea omnium que in circulo sunt est ea que per centrum transiens circulum equaliter secat, sic maximus in sphera arcus est qui eam in duo equalia dividit; nec alius potest ipsam similiter dividere nisi circulum quoque similiter dividat, id in sphericis oculis cernitur." Hunc modum demonstrandi (ut secundum mentem tuam loquar; in veritate enim nullam demonstrationem affers) [1] non sumpsisti ex Theone; tantum enim non deliraret vir ille studiosissimus, sed ex confuso cerebro tuo id intrivisti quo abundantior dicendo habearis: melius dixerim abundantior insaniendo. Sed putabas forsitan demonstrationes geometricas deficere dum argumentationem rhetoricam attulisti; per quandam similitudinem ostendendo illud accidere in spheris quod et in planis fieri solet; ex ignorantia itaque tua aliorum quoque insufficientiam aut etiam inscitiam falso indicas. Theodosium De spheris non vidisti qui geometrice non rhetorice id ostendit. Maximus enim in sphera circulus est qui idem cum sphera centrum habet; omnes ergo circuli maximi in una et eadem sphera in centro convincant, cumque etiam per tertiam undecimi Elementorum\ omnes duo maximi / convincent in linea recta; necesse est centrum eorum quod et sphere est in eadem linea reperiri et ideo eandem lineam secundum quam se secant circuli, esse diametrum utriusqu: quare necessario per equalia se secant. Inferius dicit: \ Verba huius viri / "Ideo que proportio est anguli qui in centro est ad quatuor rectos ea est arcus quo subtenditur ad reliquum circulum. Sit ABC angulus in centro circuli ADE, qualis est proportio ipsius ad reliquum spatium quatuor rectorum talis est CA arcus ad residuum circuli. Sit item circulus FGH et anguli H et F in circumferentia ipsius, que proportio est FG arcus quo angulus H" [Diagram] Folio 18r [Back to Top] view facsimile   "subtenditur ad reliquam partem circuli ea est anguli H ad duos rectos; quod patet protracta diametro GM et coniuncta in H, angulus enim GHM per tertii Elementorum rectus est et in duo equaliter divisus per primi; et similiter que proportio est anguli F ad duos rectos ea est HL arcus quo subtenditur ad residuum circuli. His omnibus demonstrationibus etc." Delirationibus non \ in / iniuria dicere possumus adeo rem facilem implicas et mendacia turpissima effers. Dicis enim superius: "qualis est proportio ipsius ad reliquum spatium quatuor rectorum etc." quasi reliquum spatium circa punctum B quatuor rectis equipolleat, quod falsum est, sed totum reliquum spatium una cum ipso ABC angulo , id est totum spatium circa B punctum existens, quatuor rectos valet. Sed si dixisses, qualis est proportio ipsius ad reliquum spatium, talis est CA arcus ad residuum circuli (intellige: circumferentie) [2] verum pronunciasses quamvis ad propositum tuum non directe pertinuisset. Inferius dicis: "que est proportio FG arcus quo angulus H subtenditur ad reliquam partem circuli, ea est anguli H ad duos rectos." Non possum non admirari dementiam tuam qui expositoris officium tibi usurpas et in rebus usitatissimis atque principialibus erras. Non enim ea est proportio, ut inquis, arcus FG ad reliquam partem circuli que est anguli H ad duos rectos, sed ea est proportio arcus FG ad totam circumferentiam circuli que est anguli H ad duos rectos, quod per ultimam sexti pauculis aliis rebus manifestis intercedentibus facillimum demonstrari potest. Profecto nisi limam manus tue [3] viderem que omnia si qua neglecta essent emendare conata est, nequaquam tibi sed librario tale dedecus imputarem; non enim fieret mihi verismile hominem ullum posse Folio 18v [Back to Top] view facsimile   tantum delirare. Rursus negligentia tua digne notanda est qui hec commentaria \ infecta / Jacobo Antonio Marcello vendenda dedicasti, priusquam ad integrum ea confeceris. Nam in multis locis ubi theoremata Elementorum Euclidis allegas, quo tamen non expressisti quamvis librarius spatiunculum pro numero propositionis reliquerit; que res etsi tenuis admodum sit et vix memoratu digna, imprudentie tamen tuae [4] haud mediocre existit iudicium. Aut enim credebas commentaria tua olim lectum iri, aut perpetuo in tenebris absconsum iri. Si quispiam recens etiam mathematicarum discipulus ea viderit, numquid socordiam [5] tuam atque incuriam non accusabit? Si vero nemini unquam legenda arbitratus es, quomodo Jacobus Antonius Marcellus nugarum tuarum emptor immortale nomen quemadmodum sperabat te pollicente consequetur? Vellem insuper doceri ex quibus suppositis tuis quibusque rationibus angulum H equaliter divisum esse convinceretur, quamvis ad rem id non pertineat. [6] Postremo errorem eundem repetis: "et similiter, inquis, que proportio est anguli F ad duos rectos, ea est HL arcus quo subtenditur ad residuum circuli." Non est ita, sed ea est anguli F ad duos rectos, que est arcus HL ad totam circuli circumferentiam. De his ineptiis tuis puerilibus finem facio. Sed statim aliud indicium negligentie tue occurrit: "ubi subtractis, inquis, a 180 semicirculi partibus 24 17′ 20" erit residuus ad semicirculum arcus GE graduum 145 42′ 40″, ubi dicere oportuit 155 42′ 40″.\ In capitulo sexto, verba huius hominis / Inferius exponendo hunc textum et quod semper ille apparet etc, dicit: "Circulus ille, inquit, qui polo id est centro equi-" Folio 20r [Back to Top] view facsimile   "noctialis circuli polo boreali et spatio elevationis describitur, semper apparet; quod per se patet; cum autem dicat polo et semidiametro circulus describatur polum pro centro posuit; nam cuiusque in sphera circuli polus centrum suum est; centrum enim est unde producte omnes ad circumferentiam linee sunt equales; polus vero circuli est in quo movetur non mutato loco. Ita polus circuli in sphera necessario etiam centrum eius est, quod hec Ptolemei verba dilucide ostendunt. Quare Jacobus Cremonensis qui nunquam a nobis lacessitus imo ne nomine quidem cognitus nisi postea quam lacessunt et scedulas in libris nostris opposuit ac ad papam Nicolaum quintum detulit ignorantissimus omnium et pessimus esse arguitur; huic quoniam homini a quo nunquam fuit lacessitus adeo ad pontificem detraxit ut nihil aliud quam iugulum eius peciisse videatur, illud quia omnia ignoranter et sicut puer insaniens ex invidia notavit; nihil enim scribit nisi hoc falsum est aut ineptum aut ignoranter ductum, ut scedulis manu sua scriptis atque affixis patet, quas manu notarii transscribi apponique curabimus et ceteros id facere rogamus qui hec commentaria transscribent, ut meritam sue impudentie famam consequatur; sed illam belvam in figura hominis latrare ut libet permittamus: ceteris vero illud dicamus quod oculis cernitur omnium in sphera circulorum tria esse centra; unum in plana ipsorum superficie et duo in rotunda que poli circulorum appellantur, quod poli equinoctialis apertissime ostendunt. Quare qui polos circuli in extremitatibus diametri" Folio 20v [Back to Top] view facsimile   "eius esse arbitrantur vehementer errant. Motus enim in extremis diametri punctis factus non est circuli sed sphere, nam motus huiusmodi cum naturalis sit non destruit mobile; motus autem in extremitatibus diametri circulorum factus statim destruit circulum quippe qui ipsum ad globosam sphericamque superficiem illico trahat quod per diffinitionem sphere patet. Sphera enim huiusmodi circuli efficitur; apertissime igitur patet polum circuli necessario centrum eius esse; polumque circuli dici vere non posse nisi eius qui descriptus in sphera sit actu et re ipsa et superficiem suam actu et veram sphericam esse in medio cuius polus suus est unde protracte ad circumferentiam eius linee sunt equales; dicitur autem polus quoniam in ipsis (duos enim habet) [7] volvitur in sphera mobili; sicut ergo circuli dicuntur spherales, ita et centra sua et superficies sue spherales sunt; nam superficies plana spheralis circuli non actu nec re vera sed imaginaria est; quare centrum quoque in medio huiusmodi superficiei positum sola imaginatione capitur, quod descripti in omni solida sphera circuli ostendunt." Hec ille. \ Verba huius finiunt / Importunitatem tuam sedulo ostendis dum vocabula apud maiores nostros usitata inepte confundis. Centrum circuli, ut ex verbis Euclidis trahitur, est punctus in medio circuli signatus a quo omnes linee recte ad circumferentiam ducte sunt equales. Polus autem circuli a Theodosio in primo De spheris describitur: punctus in superficie sphere signatus a quo omnes linee recte ad circumferentiam circuli producte sunt equales. Nonne illi aperte distinguunt inter centrum et polum? Cum igitur sint viri magne autoritatis et te in diffiniendo preveniant, diffinitiones eorum, non tue delirationes, acceptande sunt; circa definitiones Folio 21r [Back to Top] view facsimile   enim non est certandum sed prorsus acquiescendum primis artium traditoribus. Sed forsitan reclamabis diffinitionem centri que est de mente Euclidis convenire etiam polo quem describit Theodosius, cum polus etiam sit in medio circuli, equaliter enim a circumferentia eius distat. Dico ego polum non esse in medio circuli sui; medium enim circuli est pars circuli; polus autem non est pars circuli; non est ergo in medio eius; medium enim per continentiam non per equedistantiam intelligendum est; cuius rei signum est quod subdit a quo omnes linee ducte ad circumferentiam sunt equales. Si enim intelliexisset medium per equedistantiam diffinitio predicta redderetur nugatoria; idem enim bis exprimere ac si diceretur: Centrum circuli est punctus equedistans a circumferentia circuli, a quo omnes linee ducte ad circumferentiam sunt equales. Quid queso \ aliud / est punctum equedistans a circumferentia nisi a quo omnes linee recte ad circumferentiam producte sunt equales? Quomodo igitur autoritatem Euclidis tueberis si polum quoque circuli in medio eius esse asserveris? Adde quod in omnibus locis ubi de centro circuli disserit, Euclides absque ulla contractione centrum nominat non significans aliud quam punctum quod est pars circuli, ut more mathematicorum loquar. Sed facile licentiam vetera vocabula noviter diffiniendi impetrares; si artes bene traditas vel inventis tuis ampliares vel expositione digna satius lucubrares: sed revera sicuti nihil nisi ineptias profers, ita quicquid ceteris docte traditum est furibundo quodam sermone confundis. Quod autem polum apud Ptolemeum centrum vocari clamitas, non mirum est, licet nondum credam nisi textu eius graeco docear Folio 21v [Back to Top] view facsimile   hanc enim mutuam auctores sibi dicit veniam ut alter ab alterius diffinitis vocabulis parumper excedat, neque hoc nisi rarissimo usu admittitur. Quasobres indigne Jacobo Cremonensi succenses, qui si talia errata tua scedulis suis notavit, veritate potius iubente quam invidia stimulante id fecisse creditur, qui etsi diem obierit, cum facinus laudabile aggressus sit, de te olim triumphabit: et quidem non iniuria quippe qui annos plurimos in mathematicis exercitus habuit; tu vero non in hoc genere studiorum unquam sudasti, sed ex cerebro tuo impetuoso mille evomis ineptias. Perge ut coepisti, bone vir, et cura ut scedule sue manu notarii transcribantur et deliramentis tuis annectantur si voles exitium tibi sempiternum: videberis enim tua sponte errores proprios increpuisse, quod insanientis est hominis ne dicam imprudentis. Deinde dicis "omnium in sphera circulorum tria esse centra; unum in plana ipsorum superficie et duo in rotunda que poli appellantur." Si diffinieris centrum circuli esse punctum a quo omnes linee recte ducte ad circumferentiam eius sunt equales, oportebit non modo tria centra dare circulo verumetiam infinita. Nam educta orthogonali ad superficiem circuli utrimque ex centro eius quod in sua superficie continetur, quemcumque punctum in ea orthogonali sumpseris, is centrum circuli esse facile probabitur: quoniam omnes linee ab eo ad circumferentiam circuli extense sunt equales; quod quidem ex diffinitione circuli et penultima primi Elementorum nisi tempus nimium in re modica flueret, impigre deduceremus. De his iam nugis tuis calamum restringo. Folio 22r [Back to Top] view facsimile   [Diagram] Inferius dicit: "sed corda dupli arcus ET partium est 3 45′." Hoc dicit de regione cuius longissimus dies habent horas 12 minuta 15. Non corda arcus TE est 3 45′ sed arcus ipse est 3 45′. In hoc autem non accuso ignorantiam tuam; quis enim id nescierit minuta 15 unius hore equalis secundum morem astronomorum verti oportere in 3 gradus minuta 45′ sed socordiam tuam sive negligentiam tuam demiror qui exemplar illud primarium quod ipse limare conatus es, ita diminutum reliqueris. In capitulo septimo dicit: "cumque fixe ad orientem moveantur posse \ posse patet / [8] id non respectu none sphere alicuius sed tropicorum et equinoctialium punctorum fieri." Sic motum stellarum fixarum ad orientem in veritate nullum putabis, sed solum imaginarium sive respectivum, cum autem ita moveri videantur; et non accidat illud propter spheram octavam sic motam; necesse erit quendam in sphera solis esse motum, quo varientur puncta equinoctialia et tropica quem motum neque Ptolemeus neque aliorum quispiam posuit, nisi quod Hipparchus de hac re parvula tetigit in libro de motu tropicorum; quemadmodum allegatur in primo capitulo tertii Ptolemei. Hunc igitur motum in sphera solis oporteret esse super polis mundi ab oriente ad occidentem ut stelle fixe videntur recedere a punctis equinoctialibus et tropicis versus orientem. Sed de hoc alibi latius tractandum. Hoc unum destruit imaginationem tuam quod si stelle fixe non haberent motum proprium cum orbe suo \ ad orientem / sed orbis eorum esset primum mobile etc, necesse esset stellas fixas semper easdem habere declinationes; sic enim circumferentia equinoctialis esset in eodem orbe cum ipsis stellis fixis: Folio 22v [Back to Top] view facsimile   et ideo cuiuslibet stelle fixe una semper distantia ab equinoctiali haberetur, quam vocant declinationem. Ptolemeus autem in capitulo secundo et tertio septimi declarat declinationes stellarum fixarum variari oportere; quomodo igitur octava sphera primum mobile esse poterit? Inferius paulo super hoc textu: "Primum autem demonstrabimus quod arcus circuli qui per modum signorum etc., dicit: Difficilis res videtur que facilis est, nec ut Theon etiam ut sicut in multis aliis oberrat quasi stante sphera id demonstrandum erat," demonstratque ut putat Ptolemeo neglecto quod ubique fere facit; sic dixi quoniam si meliora traditurum se arbitrabatur debuisset rem suam agere nec commentariorum loco sua tradere, ac auctorem quem exponendum ceperat contra exponentis officium negligere. Tumose senex! Nihil aliud in nugis tuis habes nisi iniustam Theonis accusationem, id autem facis ut gloria eius extincta tu doctissimus expositor habearis. Sed longe aliter quam sperabas, nisi deus hunc mihi spiritum eripiat, senties greculam importunitatem tuam. Sed potius insaniam ita apertam ita milies repetitam dabo ut commentarios hosce tuos infectos malles quam quidpiam scripssisse. Post quedam interiecta inquit: "Quare angulus CLT unius equalis est angulo IMF alterius per sed triangulus etiam etc." Hec de trangulis sphericis. Ita commentarios tuos fenestratos edidisti; rem faciens expositori turpissimam, quomodo enim discipulo has tuas nugas lecturo satisfacies si locus auctorum quibus ad probationes tuas eges, silentio imo verius inscitia preteris? Revideas igitur, obsecro, hasce tuas litteras nisi ludibrio haberi malis quam Folio 23r [Back to Top] view facsimile   laudandus dici expositor. In capitulo nono: "In quarta igitur, inquit, figura capituli septimi huius libri, hoc est in theoremate octavo, differentia partium horarum equalium inequaliumque ostenditur quod ad rem hic accomodandum [9] latius est ut pateat quare sexta pars huiusmodi excessus additur subtrahiturve. Sit meridianus ABGD, equinoctialis semicirculus AETG. orizon orbis declinis BED, orizon equinoctialis qui per polos ipsius equinoctialis describitur CHT, patet per se quia TA sex horarum equalium est ac temporum equinoctialium, id est [Diagram] partium horarum equalium 90; at vero HL horarum similiter sex sed inequalium ac temporalium; totum enim spatium ob oriente ad meridiem sex equalium horarum est in equinoctiali et totidem inequalium sive temporalium in climate quolibet; excessus ergo et differentia partium equalium et inequalium horarum est excessus et differentia TA ad HL; sed EA et HL similes et equales proportionabiliter sunt; ET igitur excessus et differentia est temporum vel partium horarum sex equalium ad sex inequales." Ecce quot ineptias effundis, bone vir. Dicis quod pateat per se TA esse sex horarum equalium, quod quidem neque ullo modo patet neque verum est, nam ipse arcus TA maior est quadrante cum pars eius scilicet arcus EA quarta circumferentie sit meridiano per polos equinoctialis et orizontis transeunte; arcus igitur EA sex horarum equalium est, non arcus TA. Deinde dicis: "Excessus ergo et differentia partium equalium et inequalium horarum est excessus et differentia TA ad HL." Excedens et id quod exceditur unius et eiusdem semper sunt rationis, sed TA est de circulo maiori in sphera quia equinoctiali, HL autem de circuli minori Folio 23v [Back to Top] view facsimile   Verum tamen simpliciter est quod TA maior est arcu HL; sunt enim arcus similes quorum circumferentie tote sunt inequales; equinoctialis enim maior est quocumque alio sibi parallelo; sed hec non erat intentio tua, volebas enim dicere quod arcus TA maior esset arcu HL secundum proportionem, id est quod arcus TA plures haberent gradus sue circumferentie quam HL sue circumferentie; ita enim in hoc proposito considerantur excessus; non est autem arcus TA maior arcu HL secundum proportionem, sed omnino equalis ei. Unde et falsum cognoscitur esse quod subdis dicens: "excessus ergo et differentia partium equalium et inequalium horarum est excessus et differentia TA ad HL." Hoc quoque falsum est quod sequitur. Sed EA et HL similes et equales proportionabiliter sunt; non sunt enim similes. Licet enim duo circuli AEG et HL sunt sibi invicem equedistantes ex eis secentur duo arcus EA et HL duobus circulis magnis in sphera intercepti qui sunt ABGD et BED; tamen cum ipsi per polos equedistantium circulorum non incedant, non oportet duos arcus EA et HL esse similes, imo dissimiles propterea quod duo arcus TA et HL similes existunt. Sic itaque confundere soles omnia etiam facillima. Sed breviter ita dicendum erat, arcus EA est sex horarum equalium quia quadrans; arcus autem TA sex horarum inequalium quia similis et equalis secundum proportionem arcui HL qui est sex horarum inequalium; quare arcus TE est differentia sex horarum equalium et sex inequalium etc. In capitulo decimo de angulis. Inquit ille: "Nam reliquos quidem per easdem sectiones factos statim uno dato habemus per 13 et 16 primi Elementorum." Hae due propositiones de angulis rectilineis sonant; quare inepte huic tuo proposito eas accommodasti: Folio 24r [Back to Top] view facsimile   quod et inferius tu ipse confirmasti, ubi dicis acriter "ergo animadvertende intelligendeque propositiones Elementorum sunt; intentio enim ante librum decimum auctoris fuit superficies solummodo planas investigare etc." Sed de tertiadecima propositione primi facile tacuerim, nam quicquid ipsa predicat de angulis planis rectilineis ad spherales quoque angulos accomodari licet, de sedecima autem non possum silere, que angulum extrinsecum utroque intrinsecorum sibi oppositorum maiorem esse portendit; illud enim in triangulis spheralibus accidere semper non est necessarium; potest enim non nunquam angulus extrinsecus equalis esse alteri duorum intrinsecorum sibi oppositorum; quandoque etiam minor altero eorum, quemadmodum ex Menelai didicimus propositione \ 3-letter blank / primi. Quintadecima tamen primi Elementorum que de angulis planis rectilineis sonat ad spherales quoque applicari potest quam potius hic quam sextamdecimam allegare debuisti. Paulo inferius "pro polo, inquis, id est pro centro." Superioris deliramenti memor ubi centrum circuli extra superficiem eius situare posse garriebas. Non cessas insuper allegare propositiones primi Elementorum que de planis angulis et triangulis sonant; si boni expositoris vices reddere volebas, videndus erat Menelaus De sphericis figuris: eo enim pacto discipulo tua scripta lecturo satisfecisses. Inferius dicit: "Hinc manifeste patet figuras sphericas non esse eiusdem speciei cum planis; omnis enim triangulus planus tres angulos habet duobus rectis equales per 32 primi Elementorum; in sphera vero potest describi triangulus trium rectorum angulorum imo re ipsa describitur." Folio 24v [Back to Top] view facsimile   "Nam triangulus qui fit etc." Sed non est omnis triangulus \ spheralis / trium rectorum sed modo plurium modo pauciorum indefinitum enim, id est propter superficiem sphericam; quare duobus etiam rectis minorem ambitum constitutum in sphera triangulum posse continere non equidem negaverim; hinc non solum harum rerum ignorantia verum etiam iniquitas inaudita pape Nicolai quinti aperte patet qui hec commentaria impuri hominis nomini Jacobi cremonensis per vim mihi erepta dedicare voluit, et affixis in marginibus scedulis Jacobus tamen alia multa tamen id quoque notavit quam ignorantissime asserens tres angulos spherici trianguli paulo semper duobus rectis esse maiores. Eousque autem progressus est pape Nicolai quinti furor humanus ut quia id nullo \ me / modo passurum significavi et fedissimo carcere et turpi passione homo sanctus afflixerit etc. [10] Quod confiteris triangulum sphericum tres angulos duobus rectis minorem posse habere, haud demiror cum Menelaum De sphericis non videris, quo vehementius temeritas tua atque audacia notanda est qui commentaria scribere pergis, rerum ad hoc pertinentium ferme omnium ignarus. Demonstrabo tibi omnem triangulum spheralem \ ex arcubus circulorum magnorum constantem / habere tres [Diagram] angulos duobus rectis necessario maiores. Sit enim quicumque talis triangulus ABC. Dico quod eius tres anguli maiores sunt duobus rectis. Compleatur enim ciculus BC, cui occurrat arcus CA continuans in puncto E ita ut CE sit semicircumferentia. Aut igitur angulus ABE extrinsecus minor est duobus intrinsecis BAC et ACB simul sumptis: aut maior eis aut equalis. Si fuerit minor quoniam ipse cum angulo ABC duos rectos valet, necesse erit per communem animi conceptionem angulum ABC cum duobus angulis BAC et ACB duobus rectis maiores esse. Si vero angulus ABE \ per adversarium / fuerit equalis duobus intrinsecis supradictis Folio 25r [Back to Top] view facsimile   fiat angulus ABD equalis angulo BAC, unde et reliquus DBE reliquo de duobus scilicet ACB equalis habebitur, considerato itaque triangulo ABD, erit angulus BAC extrinsucs ad eum equalis intrinseco ABD quare primi Menelai duo arcus BD et DA coniuncti sunt equales semicircumferentie circuli. Item cum angulus EBD sit equalis angulo [11] BCD erunt per eandem duo arcus BD et DC coniuncti equales semicircumferentie, sed prius duo quoque arcus BD et DA equales habebantur semicircumferentie, ablato utrobique communi arcu BD, relinquetur arcus DA equalis arcui DC pars toti, quod est impossibile. Non potuit igitur angulus ABE equalis esse duobus angulis intrinsecis BAC et ACB. Sed neque maior: si enim sic, sit iterum angulus ABD equalis angulo BAC, unde reliquus DBE maior erit reliquo ACB. Cum itaque angulus BAC equalis sit angulo ABD erunt per primi Menelai supra allegatam duo arcus BD et DA coniunctim equales semicircumferentie. Item cum angulus DBE extrinsecus ad triangulum DBC sit maior intrinseco BCD, erunt per eandem duo arcus BD et DC minores semicircumferentia; minores ergo duobus arcubus BD et DA. Ablato igitur utriobique communi BD, relinquetur per communem scientiam arcus DC minor arcu DA, totum minus parte sua, quod est impossibile. Non potuit ergo angulus ABE maior esse duobus BAC et ACB, sed neque equalis quare necessario semper minor erit et ideo ut supra declaratum erat tres anguli trianguli propositi maiores duobus rectis convincuntur. Imprudenter itaque confiteris tres angulos trianguli spheralis non nunquam duobus rectis minores inveniri. Quod autem Jacobus cremonensis dixerit triangulum spheralem habere tres angulos semper paulo maiores duobus rectis, partim bene dictum est, partim quoque ambigue. Nam quod duobus rectis maiores Folio 25v [Back to Top] view facsimile   sint iam certum reddidimus; quanto autem maiores sint, indefinitum est: unum autem illud paulum vocari debeat an non, nemo nisi cuius erat hoc verbum satis docere poterit; magnum enim et parvum, paulum et modicum sapere videntur respectum quendam, quod igitur modicum respectu cuiusdam est, respectu alterius est multum. Videtur tamen secundum usitatum modum loquendi id paulo maius alio, dici quod non excedit aliud plus quam sit eius medietas. Volo dicere quod excessus duarum quantitatum non sit maior medietate minoris quantitatis; fuit ergo intentio Jacobi cremonensis secundum hunc modum interpretandi, quod excessus quo tres anguli trianguli spheralis excedunt duos rectos nunquam sit maior uno recto qui est medietas de duobus rectis. Hoc autem non est verum, nam triangulus spheralis potest habere tres angulos equales tribus rectis; item quatuor rectis et non nunquam quinque rectis. Breviter omnis triangulus spheralis ex arcubus circulorum magnorum habet tres angulos maiores duobus rectis, minores autem sex rectis. Quod maiores sint duobus rectis ostensum est superius. Minores demum sex rectis comprobantur. Nam tres anguli trianguli intrinseci cum tribus suis extrinsecis equantur sex rectis, si ergo intrinseci per se sex rectis equivalerent, tamen valerent intrinseci soli quantum ipsi cum extrinsecis: partem ergo equalem esse toti convinceremus, quod est impossibile. Consequenter dico quod dato angulo quantumcumque parvo, possibile est constituere triangulum spheralem cuius tres anguli addant super duos rectos, angulum equalem ipsi proposito; itemque possible est constituere triangulum super cuius tres angulos addant sex anguli recti, angulum equalem ipsi angulo proposito \ quantumcuque parvo / habet itaque crementum trium angulorum trianguli spheralis latitudunem magnam quatuor videlicet Folio 26r [Back to Top] view facsimile   rectorum ferme quod profecto mirabile videtur his qui in passiones triangulorum spheralium non satis didicerunt. Ut autem illud apertum fiat, sit talis angulus spheralis a quantumcumque minimis cui pono equalem angulum CBD duobus arcubus CB et BD contentum; continuabo deinde arcum CB usque ad E ponendo arcum BE quantumlibet [Diagram] et ipsi equalem BD producto arcu ED qui concurrat cum arcu EBC continuato si oportuerit in puncto CI, nam arcus BC prius indefinitus ex parte C ponebatur. Iam tres anguli trianguli CBD addunt super duos rectos angulum equalem ipsi a proposito; est enim angulus BDE equalis angulo BED per primi Menelai: angulus autem E equatur angulo C, est omnium uterque arcuum CBE et CDE semicircumferentia; quare et angulus BDE angulo C equabitur; sed angulus BDE cum angulo BDC duobus rectis equipollent. Unde et duo anguli BCD et BDC duos rectos valebunt: tres igitur anguli trianguli BCD super duos rectos addunt angulum CBD qui ponebatur equalis ipsi A; quare constat primum. Secundum autem sic demonstrabimus. Sit datus angulus A, differentia scilicet sex rectorum et trium spheralium angulorum quos in uno triangulo spherali constituere iubemur: super puncto B fiat angulus CBD quem duo recti excedant in angulo A Folio 26v [Back to Top] view facsimile   ponaturque angulus DBG maior quarta parte anguli A, minor tamen medietate eius ducto arcu BG indefinite quantitatis ex parte G; dividatur deinde angulus CBD in duo equalia per arcum BE indeterminatum ex parte E postea super aliquo puncto arcus BG constituatur angulus equalis angulo DBG ducto arcu GD et ipso continuati sic ut orthogonaliter incidat arcu BE. Quo autem pacto id fieri possit, simul arcum BG esse quadrante minorem inferius pulcre demonstrabitur; arcus autem GD prolongatus ultra E punctum occurrat arcu BC lateri anguli CBD in puncto C, erit itaque arcus EC equalis arcu ED propter binos angulos apud B et E equales cum latere BE communi duobus trangulis BEC et BED; extendatur arcus EC donec fiat EF equalis arcui EG, ductoque arcu BF, erit angulus BFE equalis angulo BGE, et arcus FC, equalis arcu DG; itemque arcus BC equalis arcui BD: \ hec omnia ex primo Menelai facillime colliguntur aut ex tertio triangulorum nostrorum / quare et angulus FBC equalis angulo BFC: hii quoque duo equales duobus DBG et BGD; sed erat angulus DBG maior quarto parte anguli A minor tamen eius medietate; quare duo anguli DBG et CBF coniunctim minores sunt angulo A, sed angulus CBD cum angulo A duobus rectis equivalent; quare angulus CBD cum duobus angulis CBF et DBG: coniunctim minores duobus rectis habebuntur: et ideo duo arcus GB et BF angulariter concurrunt \ in puncto B / qui duo arcus prolongentur donec in puncto H concurrant. [Diagram] Iam \ dico quod / triangulus HFG habebit tres angulos qui minores sunt sex rectis in angulo A. Nam angulus FHG equatur angulo FBG: hii enim duo anguli duobus semicirculis comprehenduntur; angulus autem FBG continet angulum CBD cum duobus CBF et DBG qui duo sunt Folio 27r [Back to Top] view facsimile   equales duobus BFC et BDG et illi duo iterum equales duobus angulis HFK et HGL extrinsecis ad triangulum HFG; quare angulus FHG equalis est angulo CBD et duobus HFK et HGL; tres igitur anguli trianguli HFG equantur angulo CBD et quatuor angulis HFG, HFK, HGF, et HGL; sed isti quatuor valent quatuor rectos, quare tres anguli trianguli HFG equantur quatuor rectis cum angulo CBD; angulus autem CBD minor est duobus rectis in angulo A; unde et per communem scientiam tres anguli trianguli HFG minores sunt sex rectis in angulo A, quod erat efficiendum. Nunc ostendendum est quomodo constituatur angulus BGD equalis angulo DBG per arcum \ ad rectos incidentem / \ si continuatus fuerit / arcui BE. Id autem facile \ comparabitur / si prius problema tale \ assumpserimus /. Si duo circuli magni in sphera ad tertium fuerint inclinati, sic ut poli amborum inclinatorum et circuli iacentis sint in uno et eodem circulo magno sphere, fueritque alter erectus supra eundem iacentem arcus autem circuli per polos omnium transeuntis qui inter duos inclinatos circulos est, maior sit eo arcu qui inter circulum minus inclinatum et circulum erectum intercipitur: a polo circuli iacentis arcum producere \ qui cum circulo minus inclinato continuat angulum equalem ei quem duo inclinati circuli complectuntur angulo /. In figura clarius apparebit: si circulus BO iacens BZ ad eum erectus, BN autem inclinatus et BM similiter, qui omnes in puncto B communi se secent, circulus per polos omnium incedens ZMO \ arcus autem NM maior sit arcu MZ /. Z esto polus circuli iacentis BO a quo ducendus est circulus ZE secans duos inclinatos in punctis G et D \ ita ut angulus DGB equalis sit angulo DBG / oportuit autem arcum NM maiorem esse arcu MZ alias enim [Diagram] Folio 27v [Back to Top] view facsimile   non esset possibile id fieri. Absolvemus autem hoc pacto. Cum datus sit uterque arcum NM et MZ, sit sinus arcus ZG ad sinum arcus ZE, scilicet sinum totum sicut sinus arcus ZM ad sinum arcus MN, quod quidem facile est cum tres eorum sint dati; erit itaque proportio sinus ZG ad sinum anguli GMZ recti sicut sinus ZM ad sinum MN; sinus autem arcus ZG ad sinum anguli GMZ sicut sinus arcus ZM ad sinum anguli MGZ; quare et proportio sinus ZM ad sinum anguli MGZ sive BGD ei contrapositi sicut sinus ZM ad sinum MN; sinus ergo arcus MN equalis est sinui anguli BGD. Unde et arcus MN equalis est arcui anguli BGD cum et arcus MN minor sit quadrante et angulus BGD minor recto; est autem et arcus MN determinans quantitatem anguli DBG quare duos angulos BGD et DBG idem arcus determinat; sunt ergo equales; et ideo duo quoque arcus BD et DG equales habentur. Hec omnia ex tertio et quarto triangulorum nostrorum rata accipiuntur. \ Iam / ad propositum redeundo: quoniam totus angulus CBD minor est duobus rectis in angulo A, erit angulus EBD minor uno recto in medietate anguli A; posuimus autem angulum DBG maiorem quarta parte anguli A, minorem tamen medietate ipsius anguli A; quare si ex B puncto erigeretur orthogonalis ad BE arcum (est enim angulus EBG acutus) fieret angulus DBG maior residuo ad rectum qui scilicet est differentia anguli recti et anguli EBG; sic ergo habebitur \ suppositio / problematis nostri; erunt enim duo circuli BD et BG inclinati ad circulum BE; et si intellexerimus circulum magnum orthogonaliter secare circulum BE in puncto B, itemque alium qui incedat per polos omnium dicoturm circulorum, erit arcus inter duos inclinatos maior eo arcu qui inter erectum et circulum minus inclinatum intercipitur; quia etc. Si non satisfacit calamus noster velociter currens legendi prius sunt libelli triangulorum nostrorum Folio 28r [Back to Top] view facsimile   nam ipsis diligenter perspectis facilia videbuntur omnia. Illud quoque certissima demonstratione convincitur quod datis tribus angulis spheralibus quantiscumque, quorum tamen quilibet duo coniuncti maiores sunt eo qui cum tertio duobus rectis equipollet, possibile est ex arcubus circulorum magnorum constituere triangulum cuius tres anguli tribus datis sint equales, quod pulcre demonstraremus intercedente quarti Triangulorum, nisi ad alia nunc negotia vocaremur. In capitulo duodecimo allegat quartam et octavam primi Elementorum ad triangulos spherales imprudenter satis. Nam licet eedem passiones demonstrentur de spheralibus triangulis, que de planis per has duas propositiones, tamen incertum id est nisi quis primum Menelai aut tertium Triangulorum nostrorum viderit. Pretera suspectus est hic usus propositionum Euclidis, presertim cum alique passiones de triangulis planis demonstrate in spheralibus nihil loci habeant; quales \ demonstrantur in / 16a, 17a, 21a, 32a primi; allegare ergo propositiones primi Elementorum non est demonstrare, sed potius rem in ambiguo relinquere. Inferius conatur ostendere quod punctus ecliptice existens in meridiano qui terminat portionem ecliptice orientalem potest esse quandoque australis a puncto verticis capitum, quandoque borealis; quandoque etiam coincidere cum eo, dicens hec verba. "Sit portio meridiani per Syenem AEB et fiat motus universi a puncto C ad D ut AE arcus sit australis et EB borealis, obliquus vero sit CED; punctum verticis sit E; puncta equaliter utrimque distantia sint F et G et quoniam equales ponuntur arcus FE et EG suntque etiam arcus CE et ED equales; erunt linee ex C et ex D ad F et G ad rectos angulos tracte; ideo C orientalis portionis punctum australius in medio celi, id est in meridiano est quam" [Diagram] Folio 28v [Back to Top] view facsimile   "punctum verticis quoniam tracta inde ad rectos linea in F cadit; D autem portionis occidentalis punctum borealius; quoniam in G invenitur, similiter de ceteris." Hec sunt verba eius; verba, inquam, insipida et nihil nisi dedecus huic homini parientia. Nam ut supposita tua procedant, esto EF equalis arcui EG, item arcus EC equalis arcui ED; ex hoc non sequitur arcum protractum ex C in F ad rectos incidere arcui AEB, neque arcum DG orthogonaliter occurrere eidem, sed sequitur angulum CFE equalem esse angulo DGE si duo arcus CF et DG fuerint circulorum magnorum. At si angulus CFE rectus esset et similiter DGE quamvis illud ex tuis suppositis non sequatur, adhuc non convinces punctum C esse australius in meridiano quam punctum verticis capitum. Sed ad ostendendum illud describendus esset super altero polorum equatoris circulus per punctum C transiens; et eundem circulum hoc pacto descriptum secare meridianum versus austrum respectu puncti E, scilicet verticis capitum. de hoc tuo \ inani / somnio satis hec paucula videntur. Inferius dicit: "Latius hec diximus quoniam qui minus profunditatem huius viri intellexerunt etiam hac de causa dicunt aperte figuram sectoris se reiecisse quod per eam minores proportiones ex maioribus componi demonstrentur etc.” Nemo unquam figuram sectoris reiecit. Quod autem Geber Hispalensis eam non amplexus sit, non fuit propter insufficientiam eius, sed quia breviorem viam habuit id investigandi quod per figuram sectoris addisicitur. Maiorem autem proportionem ex maiore et minore componi, nemini mirum videbitur qui compositionem propositionum bene diffinitam accepit. Dum ergo res hec vulgarissima stolido tibi presertim in studiis mathematicis nova videtur, neminem aliorum satis eam didicisse suspicaris." Folio 29r [Back to Top] view facsimile   "Hic ex natura numerorum credo magno illi viro figuram sectoris excogitatam fuisse etc." \ Verba huius hominis / Menelaus in principio tertii De spheris figuris demonstravit figuram sectoris abundantissime, a quo Ptolemeus id habuit quem et in ceteris rebus dignatus est imitari sive allegare quemadmodum patet in septimo libro Magne Compositionis circa finem. Inferius dicit: "Quare non erit absurdum nos quoque hic aliqua de mirabili figure sectoris natura latius dicere etc." Quicquid hic dicit, quamvis verum sit, tamen non est novum sive inusitatum, imo tanquam principium habetur in sexto Elementorum de lineis et in septimo de numeris. Hoc autem affert ille tanquam inauditum aliquid. Deinde iterum in lineis ostendit quomodo si aliqua proportio fuerit composita ex duabus, altera componentium componatur etiam ex reliqua componente conversa et ipsa composita etc. [12] Talia optime prosequitur Ahmetus in epistola sua quam scripsit de proportione et proportionalitate et ceteri quam plures idem faciunt. Subdit post pauca: "Sed figure sectoris doctrinam que nondum ad hec tempora recte integreque fuit enodata si quis recte omnia que diximus collegerit temeritque veram veraque demonstratione firmatam videbit nobisque gratias aget." Gloriose senex, ita fumus ignorantie te circumsepsit aut forsitan dolosi minimi spes tibi iniecta est ut optimum omnium qui fuerunt huius rei traditorem te putaris, quam nunquam satis didicisti. An oblitus es quid superius in te errantem circa figuram sectoris, iuste dixerim ubi, quod turpissimum est, in ipsa sectoris figura \ per compositionem / demonstranda fedissime aberrasti? Ut igitur verba tua imitatus ineptias tuas demonstrem dico figuram sectoris plurimis viris bene. Folio 29v [Back to Top] view facsimile   intellectam esse tibi minime, quippe qui volendo eam demonstrare errorem admiseris fedissimum; ut supra commemoravimus; quamobrem si quis omnia que dixeris recte intellexerit atque temerit figuram sectoris a te laceratam non firmatam confitebitur, tibi proinde non modo non aget gratias. Verum eterno ignorantie dedecore te condemnabit. Iustum bellum contra te cepisse videor qui tot et tantos viros a tempore Ptolemei floccifeceris cum sis ipse ignorantissimus neque suspiceris hanc in te dicendi licentia ex calamo meo dumtaxat fluere; ubi enim locus dabitur, multo plura pronunciabit lingua [13]

  1. Parentheses in original (footnote) [Back to Text]
  2. My parentheses and punctuation (footnote) [Back to Text]
  3. Expression already used on f. 6r (footnote) [Back to Text]
  4. Only tuae has the -ae (footnote) [Back to Text]
  5. This word is used on the last page of the Basil's Letter to Youth (12 lines from bottom on last page of Regiomontanus edition) (footnote) [Back to Text]
  6. Passage from top of page to this point is highlighted in margin—similar highlighting on ff. 14v, 15v (footnote) [Back to Text]
  7. Parentheses in original (footnote) [Back to Text]
  8. An aside (footnote) [Back to Text]
  9. Regio usually spells commodus and cognates with one "m" (footnote) [Back to Text]
  10. Previous all from GT? (footnote) [Back to Text]
  11. Text repeats angulo (footnote) [Back to Text]
  12. Indirect quotation? (footnote) [Back to Text]
  13. Rest of folio transcribed in chapter 3 (footnote) [Back to Text]

Notation Key

[Back to Top]
← Previous book | Next book →